Two Way ANOVA

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RainW（讨论 | 贡献）2024年2月8日 (四) 15:52的版本
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Two Way ANOVA.png
节点状态
Windows / Windows 10 Win10及以上可用
在V1.0部署
Two_Way_ANOVATwo Way ANOVA.svg
节点开发者决策链算法研发部 (Dev.Team-DPS)
节点英文名Two Way ANOVA
功能主类别数据分析
英文缩写ANOVAT
功能亚类别方差分析
节点类型数据挖掘
开发语言R
节点简介

Two-Way-ANOVA也称为双因素方差分析, 用来分析两个因素的不同水平对结果是否有显著影响,以及两个因素之间是否存在交互效应。分析前的假设是随机采样, 样本独立, 符合或接近正态分布, 和残差方差要一致。

用途：用于研究两个独立变量（称为因素）对一个连续型因变量的影响。

参数：选择正态分布数值因变量，和两个自变量因素

端口数量与逻辑控制(PC)
Input-入口5个
Output-出口2个
Loop-支持循环是
If/Switch-支持逻辑判断否
输入输出
可生成图片类型（推荐）
可生成数据表类型（推荐）
相关节点
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在统计学中，双因素方差分析(ANOVA)是单因素ANOVA的扩展，它检验两个不同的分类 自变量对一个连续 因变量的影响。双因素ANOVA不仅旨在评估每个自变量的主效应，还要检查它们之间是否存在任何交互作用。

历史

1925年，罗纳德·费希尔在其著名书籍研究工作者的统计方法（第7和第8章）中提到了双因素ANOVA。1934年，弗兰克·耶茨发表了非平衡情况下的程序。[1] 从那时起，产生了大量的文献。该主题于1993年由安养福士回顾。[2] 2005年，安德鲁·格尔曼提出了ANOVA的不同方法视角，将其视为一个多层次模型。[3]

数据集

让我们想象一个数据集，其中一个因变量可能受到两个潜在变异源的因素影响。第一个因素有[math]I[/math]个水平([math]i \in \{1,\ldots,I\}[/math])，第二个有[math]J[/math]个水平([math]j \in \{1,\ldots,J\}[/math])。每个组合[math](i,j)[/math]定义了一个处理，共有[math]I \times J[/math]种处理。我们用[math]n_{ij}[/math]表示处理[math](i,j)[/math]的重复次数，并让[math]k[/math]是此处理中重复的索引([math]k \in \{1,\ldots,n_{ij}\}[/math])。

从这些数据中，我们可以构建一个列联表，其中[math]n_{i+} = \sum_{j=1}^J n_{ij}[/math]和[math]n_{+j} = \sum_{i=1}^I n_{ij}[/math]，总重复次数等于[math]n = \sum_{i,j} n_{ij} = \sum_i n_{i+} = \sum_j n_{+j}[/math]。

如果每种处理的重复次数相同，即[math]K[/math]，则实验设计被认为是平衡的。在这种情况下，设计也被认为是正交的，允许完全区分两个因素的效应。因此，我们可以写[math]\forall i,j \; n_{ij} = K[/math]，和[math]\forall i,j \; n_{ij} = \frac{n_{i+} \cdot n_{+j}}{n}[/math]。

模型

通过观察所有[math]n[/math]个数据点之间的变异，例如通过直方图，"概率可用于描述此类变异"。[4] 因此，让我们用[math]Y_{ijk}[/math]表示观测值[math]y_{ijk}[/math]是处理[math](i,j)[/math]的第[math]k[/math]次测量的随机变量。双因素ANOVA将所有这些变量建模为围绕平均值[math]\mu_{ij}[/math]，具有恒定方差[math]\sigma^2[/math]（同方差性)独立地和正态地变化：

[math]Y_{ijk} \, | \, \mu_{ij}, \sigma^2 \; \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} \; \mathcal{N}(\mu_{ij}, \sigma^2)[/math]。

具体来说，响应变量的平均值被建模为解释变量线性组合：

[math]\mu_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij}[/math]，

其中[math]\mu[/math]是总平均值，[math]\alpha_i[/math]是来自第一个因素的水平[math]i [/math]的加性主效应（列联表中的i行），[math]\beta_j[/math]是来自第二个因素的水平[math]j[/math]的加性主效应（列联表中的j列），并且[math]\gamma_{ij}[/math]是处理[math](i,j)[/math]的非加性交互作用效应，用于来自两个因素的样本[math]k=1,...,n_{ij}[/math]（列联表中行i和列j的单元）。

描述双因素ANOVA的另一种等效方式是提到，除了因素解释的变异之外，还有一些统计噪声。通过引入每个数据点的一个随机变量[math]\epsilon_{ijk}[/math]，称为误差，来处理这部分未解释的变异。这[math]n[/math]个随机变量被视为偏离均值，并且假定它们是独立的且正态分布的：

[math]Y_{ijk} = \mu_{ij} + \epsilon_{ijk} \text{ 与 } \epsilon_{ijk} \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(0, \sigma^2)[/math]。

假设

根据Gelman和Hill的说法，ANOVA以及更一般地，广义线性模型的假设，按重要性递减排序如下：[5] 1. 数据点与正在研究的科学问题相关； 2. 响应变量的平均值受因素的加性（如果没有交互项）和线性影响； 3. 误差是独立的； 4. 误差具有相同的方差； 5. 误差呈正态分布。

参数估计

为了确保参数的可识别性，我们可以添加以下“和为零”的约束：

[math]\sum_i \alpha_i = \sum_j \beta_j = \sum_i \gamma_{ij} =\sum_j \gamma_{ij}= 0[/math]

假设检验

在传统方法中，通过计算平方和来实现检验零假设（即因素无效）的显著性。

因为可能存在的自由度数量庞大，测试交互项的显著性可能会很困难。[6]

示例

以下假设性示例展示了15株植物在两种不同环境变量和三种不同肥料条件下的产量。

额外CO2 额外湿度
无肥料 7, 2, 1 7, 6
硝酸盐 11, 6 10, 7, 3
磷酸盐 5, 3, 4 11, 4

计算五个平方和：

因子 计算 和 [math]\sigma^2[/math]
个体 [math]7^2+2^2+1^2 + 7^2+6^2 + 11^2+6^2 + 10^2+7^2+3^2 + 5^2+3^2+4^2 + 11^2+4^2[/math] 641 15
肥料×环境 [math]\frac{(7+2+1)^2}{3} + \frac{(7+6)^2}{2} + \frac{(11+6)^2}{2} + \frac{(10+7+3)^2}{3} + \frac{(5+3+4)^2}{3} + \frac{(11+4)^2}{2}[/math] 556.1667 6
肥料 [math]\frac{(7+2+1+7+6)^2}{5} + \frac{(11+6+10+7+3)^2}{5} + \frac{(5+3+4+11+4)^2}{5}[/math] 525.4 3
环境 [math]\frac{(7+2+1+11+6+5+3+4)^2}{8} + \frac{(7+6+10+7+3+11+4)^2}{7} [/math] 519.2679 2
综合 [math]\frac{(7+2+1+11+6+5+3+4+7+6+10+7+3+11+4)^2}{15} [/math] 504.6 1

最终，可以计算出analysis of variance所需的平方差和。

因子 和 [math]\sigma^2[/math] 总计 环境 肥料 肥料×环境 残差
个体 641 15 1 1
肥料×环境 556.1667 6 1 −1
肥料 525.4 3 1 −1
环境 519.2679 2 1 −1
综合 504.6 1 −1 −1 −1 1
平方差 136.4 14.668 20.8 16.099 84.833
自由度 14 1 2 2 9

节点使用的R语言示例代码

Two Way ANOVA

aov_ez(
  id,
  dv,
  data,
  between = NULL,
  within = NULL,
  covariate = NULL,
  observed = NULL,
  type = afex_options("type"),
  factorize = afex_options("factorize"),
  return = afex_options("return_aov")
)

方法参见R package: afex的官方文档

节点使用指南

  • 用于研究两个不同因素对一个连续型因变量的影响，并且可以用来检验两个因素的交互作用

方法选择

  • 无方法选择

参数配置

  • 因变量：选择正态分布连续型数值变量。如果选择多个，每个变量做一次ANOVA
  • 分组自变量1：选择一个分类分组变量，第一个因素
  • 分组自变量2：选择一个分类分组变量，第二个因素
  • 因变量，分组自变量1和分组自变量2要规避复用
  • 此算法兼容空值

注意事项

  • 每组的数据都应接近正态分布
  • 不同组合的方差应该大致相等
  • 数据应该是独立的，即一个观测结果不应该影响另一个

引用

  1. ↑ Yates, Frank (March 1934). "不同类别中数量不等的多重分类分析". 美国统计协会杂志. 29 (185): 51–66. doi:10.1080/01621459.1934.10502686. JSTOR 2278459.
  2. ↑ Fujikoshi, Yasunori (1993). "数据不平衡下的双向ANOVA模型". 离散数学. 116 (1): 315–334. doi:10.1016/0012-365X(93)90410-U.
  3. ↑ Gelman, Andrew (February 2005). "方差分析？为什么它比以往任何时候都更重要". 统计学年鉴. 33 (1): 1–53. arXiv:math/0504499. doi:10.1214/009053604000001048. S2CID 125025956.
  4. ↑ Kass, Robert E (1 February 2011). "统计推断：大局观". 统计科学. 26 (1): 1–9. arXiv:1106.2895. doi:10.1214/10-sts337. PMC 3153074. PMID 21841892.
  5. ↑ Gelman, Andrew; Hill, Jennifer (18 December 2006). 使用回归和多层次/分层模型的数据分析. 剑桥大学出版社. pp. 45–46. ISBN 978-0521867061.
  6. ↑ Yi-An Ko; et al. (September 2013). "Novel Likelihood Ratio Tests for Screening Gene-Gene and Gene-Environment Interactions with Unbalanced Repeated-Measures Data". Genetic Epidemiology. 37 (6): 581–591. doi:10.1002/gepi.21744. PMC 4009698. PMID 23798480.

查找其他类别的节点，请参考以下列表

取自“https://wiki.statsape.com/index.php?title=Two_Way_ANOVA&oldid=9182”
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