One Way ANOVA：修订间差异

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== '''One Way ANOVA'''的概念（英语：Analysis of variance，简称'''ANOVA'''） ==
== '''One Way ANOVA'''的概念（英语：Analysis of variance，简称'''ANOVA'''） ==
在[[统计学]]中，'''单因素方差分析'''（或'''单向ANOVA'''）是一种技术，用于比较两个样本的均值是否有显著差异（使用[[F分布]]）。这种[[方差分析]]技术需要一个数值型[[因变量和自变量|响应]]变量“Y”和一个单一的解释变量“X”，因此称为“单向”。<ref name="Howell 2002 324–325">{{cite book |title=统计方法心理学 |last=Howell |first=David |year=2002 |publisher=Duxbury |isbn=0-534-37770-X |pages=[https://archive.org/details/statisticalmetho0000howe/page/324 324–325] |url=https://archive.org/details/statisticalmetho0000howe/page/324 }}</ref>
在[[统计学]]中，'''单因素方差分析'''（或'''单向ANOVA'''）是一种技术，用于比较两个样本的平均值是否存在显著差异（使用[[F分布]]）。这种[[方差分析]]技术要求一个数值型[[因变量和自变量|响应]]变量"Y"和一个单一的解释变量"X"，因此称为"单向"。<ref name="Howell 2002 324–325">{{cite book |title=Statistical Methods for Psychology |last=Howell |first=David |year=2002 |publisher=Duxbury |isbn=0-534-37770-X |pages=[https://archive.org/details/statisticalmetho0000howe/page/324 324–325] |url=https://archive.org/details/statisticalmetho0000howe/page/324 }}</ref>


ANOVA检验[[零假设]]，该假设指出所有组中的样本均来自具有相同均值的总体。为此，需要对总体方差进行两次估计。这些估计依赖于各种假设（[[#假设|见下文]]）。ANOVA产生一个F统计量，即组间均值的方差与样本内方差的比率。如果组均值来自具有相同均值的总体，则组间均值的方差应低于样本的方差，根据[[中心极限定理]]。因此，较高的比率意味着样本来自具有不同均值的总体。<ref name="Howell 2002 324–325"/>
ANOVA测试[[零假设]]，该假设声明所有组中的样本均来自具有相同平均值的总体。为此，需要对总体方差进行两次估计。这些估计依赖于各种假设（[[#假设|见下文]]）。ANOVA产生一个F统计量，即组间平均值计算的方差与样本内方差的比值。如果组平均值来自具有相同平均值的总体，那么组间平均值的方差应该低于样本的方差，根据[[中心极限定理]]。因此，较高的比值意味着样本来自具有不同平均值的总体。<ref name="Howell 2002 324–325"/>


然而，通常情况下，单向ANOVA用于测试至少三组之间的差异，因为两组情况可以用[[t检验]]来涵盖（Gosset，1908）。当只有两个均值进行比较时，[[t检验]]和[[F检验]]是等效的；ANOVA和''t''之间的关系由''F'' = ''t''<sup>2</sup>给出。单向ANOVA的一个扩展是[[双因素方差分析]]，它检验两个不同分类自变量对一个因变量的影响。
然而，通常情况下，单向ANOVA用于测试至少三个组之间的差异，因为两组的情况可以通过[[t检验]]（Gosset, 1908）覆盖。当只有两个平均值需要比较时，[[t检验]]和[[F检验]]是等价的；ANOVA与''t''之间的关系由''F''&nbsp;=&nbsp;''t''<sup>2</sup>给出。单向ANOVA的一个扩展是[[双因素方差分析]]，它考察了两个不同分类自变量对一个因变量的影响。


==假设==
===假设===
只要满足以下假设，单向ANOVA的结果可以被认为是可靠的：
只要满足以下假设，单向ANOVA的结果可以被认为是可靠的：
* 响应变量[[统计学中的误差和残差|残差]]呈[[正态分布]]（或近似正态分布）。
* 总体的方差相等。
* 给定组的响应是[[独立同分布]]的正态随机变量（而不是[[简单随机样本]]（SRS））。
  如果数据是[[顺序量表|顺序的]]，应使用这个测试的非参数替代方法，如[[克鲁斯卡尔-沃利斯单向方差分析]]。如果方差未知是否相等，可以


响应变量[[统计学中的误差和残差|残差]]是[[正态分布]]（或近似正态分布）。
使用2样本[[韦尔奇t检验]]的泛化版本。<ref name="Welch1951">{{cite journal|last1=Welch|first1=B. L.|title=On the Comparison of Several Mean Values: An Alternative Approach|journal=Biometrika|date=1951|volume=38|issue=3/4|pages=330–336|doi=10.2307/2332579|jstor=2332579}}</ref>
总体的方差相等。
给定组的响应是[[独立同分布]]的正态随机变量（不是[[简单随机样本]]（SRS））。
如果数据是[[序数尺度]]，则应
使用此类测试的非参数替代方法，例如[[Kruskal-Wallis单因素方差分析]]。如果方差未知是否相等，可以使用2样本[[Welch's t检验]]的推广。<ref name="Welch1951">{{cite journal|last1=Welch|first1=B. L.|title=比较多个均值的一种替代方法|journal=Biometrika|date=1951|volume=38|issue=3/4|pages=330–336|doi=10.2307/2332579|jstor=2332579}}</ref>


===偏离总体正态性===
====偏离总体正态性====
ANOVA是一种相对稳健的程序，对正态性假设的违反相对宽容。<ref name=Kirk>{{cite book |first=RE |last=Kirk |year=1995 |title=行为科学的实验设计程序 |url=https://archive.org/details/experimentaldesi00roge |url-access=registration |edition=3 |location=Pacific Grove, CA, USA |publisher=Brooks/Cole}}</ref>
ANOVA是一个相对健壮的程序，对于违反正态性假设具有一定的容忍度。<ref name=Kirk>{{cite book |first=RE |last=Kirk |year=1995 |title=Experimental Design: Procedures For The Behavioral Sciences |url=https://archive.org/details/experimentaldesi00roge |url-access=registration |edition=3 |location=Pacific Grove, CA, USA |publisher=Brooks/Cole}}</ref>


单向ANOVA可以推广到因子和多变量布局，以及协方差分析。
单向ANOVA可以推广到因子和多变量布局，以及协方差分析。{{clarify|date=September 2014}}


流行文献中经常提到，当每个总体违反严重遵循[[正态分布]]的假设时，这些''F''检验都不是[[稳健统计|稳健的]]，尤其是在小阿尔法水平和不平衡布局下。[1] 此外，还有观点认为，如果违反了[[同方差性]]的基本假设，[[第一类错误]]的性质会更严重地退化。[2]
通常在流行文献中提到，当每个总体遵循[[正态分布]]的假设被严重违反时，这些''F''检验都不是[[健壮统计|健壮的]]，特别是对于小的阿尔法水平和不平衡的布局。<ref>{{cite journal |last=Blair |first=R. C. |year=1981 |title=A reaction to 'Consequences of failure to meet assumptions underlying the fixed effects analysis of variance and covariance.' |journal=Review of Educational Research |volume=51 |issue= 4|pages=499–507 |doi=10.3102/00346543051004499}}</ref> 此外，还有人声称，如果违反了[[同方差性]]的基本假设，[[I型错误]]的特性会严重恶化。<ref>{{cite journal |last1=Randolf |first1=E. A. |last2=Barcikowski |first2=R. S. |year=1989 |title=Type I error rate when real study values are used as population parameters in a Monte Carlo study |journal=Paper Presented at the 11th Annual Meeting of the Mid-Western Educational Research Association, Chicago }}</ref>


然而，这是一个基于20世纪50年代及更早期工作的误解。第一次对这个问题进行全面调查的蒙特卡洛模拟是Donaldson (1966)。[3] 他展示了在通常的偏差下（正偏态，不等方差），“''F''检验是保守的”，因此它找到一个变量是显著的可能性比它应该的要小。然而，随着样本量或单元数的增加，“功效曲线似乎趋于基于正态分布的那一条”。Tiku (1971) 发现，“非正态理论下的''F''的功效与正态理论功效的差异可以通过一个随着样本量增加而急剧减小的修正项来解释。”[4] 非正态性的问题，特别是在大样本中，远没有流行文章所暗示的那么严重。
以下是您要求的维基百科内容的中文翻译，我已保留Markdown格式和wiki标记：


目前的观点是，“蒙特卡洛研究广泛用于基于正态分布的测试，以确定它们对分析变量在总体中正态分布的假设违规的敏感程度。这些研究的总结是，这类违规的后果没有之前认为的那么严重。尽管这些结论不应完全阻止任何人对正态性假设持怀疑态度，但它们提高了所有研究领域中分布依赖统计测试的整体受欢迎程度。”[5]
然而，这是一个误解，基于20世纪50年代及更早期的工作。第一次全面调查这个问题的蒙特卡罗模拟是Donaldson（1966年）所作。<ref>{{cite journal |title=Power of the F-Test for Nonnormal Distributions and Unequal Error Variances |first=Theodore S. |last=Donaldson |year=1966 |journal=Paper Prepared for United States Air Force Project RAND |url=https://www.rand.org/pubs/research_memoranda/RM5072.html }}</ref> 他表明，在通常的偏差（正偏态，不等方差）下，“''F''-检验是保守的”，因此它找到一个变量显著性的可能性比它应该的要小。然而，随着样本量或单元数的增加，“功效曲线似乎趋于基于正态分布的那种”。Tiku（1971）发现，“''F''的非正态理论功效与正态理论功效的差异，可以通过一个随着样本量增加而急剧减少的修正项来表示。”<ref>{{cite journal |first=M. L. |last=Tiku |title=Power Function of the ''F''-Test Under Non-Normal Situations |journal=[[Journal of the American Statistical Association]] |volume=66 |issue=336 |year=1971 |pages=913–916 |doi=10.1080/01621459.1971.10482371 }}</ref> 非正态性问题，尤其是在大样本中，远没有流行文章所暗示的那么严重。


对于因子布局中的非参数替代方法，请参见Sawilowsky。[6] 有关更多讨论，请参见[[秩上的方差分析]]。
目前的观点是，“蒙特卡罗研究广泛用于基于正态分布的检验，以确定它们对违反被分析变量在人群中的正态分布假设的敏感性。这些研究的总体结论是，这种违反的后果不如以前认为的那样严重。虽然这些结论不应该完全阻止任何人关注正态性假设，但它们增加了所有研究领域中对分布依赖的统计检验的总体受欢迎程度。”<ref>{{Cite web |url=https://www.statsoft.com/textbook/elementary-statistics-concepts/ |title=Getting Started with Statistics Concepts |access-date=2016-09-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181204140236/http://www.statsoft.com/textbook/elementary-statistics-concepts |archive-date=2018-12-04 |url-status=dead }}</ref>


==固定效应、完全随机实验、不平衡数据情形==
关于因子布局中的非参数替代方法，请参见Sawilowsky。<ref>{{cite journal |last=Sawilowsky |first=S. |year=1990 |title=Nonparametric tests of interaction in experimental design |journal=Review of Educational Research |volume=60 |issue=1 |pages=91–126 |doi=10.3102/00346543060001091 }}</ref>


===模型===
===固定效应、完全随机实验、非平衡数据的情况===
正态线性模型描述的是具有不同均值的相同钟形（正态）曲线的处理组的概率分布。因此，拟合模型只需要每个处理组的均值和方差计算（使用治疗组内的平均方差）。作


为了提供更加准确的翻译，我需要继续翻译剩余的部分：
====模型====
正态线性模型描述的是具有不同均值的概率分布，这些分布都是形状相同的钟形（正态）曲线。因此，拟合模型只需要每个处理组的均值和方差计算（使用处理组内的平均方差）。作为假设检验的一部分，会进行均值和方差的计算。


的假设检验。
对于一个完全随机实验，常用的正态线性模型包括：<ref>{{cite book | last = Montgomery | first = Douglas C.
| title = Design and Analysis of Experiments
| publisher =  Wiley | location = New York
| year = 2001 | edition = 5th | page = Section 3–2 | isbn = 9780471316497}}</ref>
: <math>y_{i,j}=\mu_j+\varepsilon_{i,j}</math>  （均值模型）
或者
: <math>y_{i,j}=\mu+\tau_j+\varepsilon_{i,j}</math>  （效应模型）
其中
: <math>i=1,\dotsc,I</math> 是实验单元的索引
: <math>j=1,\dotsc,J</math> 是处理组的索引
: <math>I_j</math> 是第j个处理组中的实验单元数量
: <math>I = \sum_j I_j</math> 是实验单元的总数
: <math>y_{i,j}</math> 是观察值
: <math>\mu_j</math> 是第j个处理组观察值的均值
: <math>\mu</math> 是所有观察值的总均值
: <math>\tau_j</math> 是第j个处理效应，即偏离总均值的差异
: <math>\sum\tau_j=0</math>
: <math>\mu_j=\mu+\tau_j</math>
: <math>\varepsilon \thicksim N(0, \sigma^2)</math>, <math>\varepsilon_{i,j}</math> 是正态分布的零均值随机误差。


通常用于完全随机实验的正态线性模型是：[7]
关于实验单元的索引 <math>i</math> 可以有几种解释。在一些实验中，相同的实验单元会受到一系列处理；<math>i</math> 可能指的是一个特定的单元。在其他实验中，每个处理组都有一组不同的实验单元；<math>i</math> 可能仅仅是指向第 <math>j</math> 个列表的索引。


==固定效应、完全随机实验、不平衡数据情形==
====数据和数据的统计汇总====
一种组织实验观察值 <math>y_{ij}</math> 的形式是将组放在列中：
{| cellpadding="2" style="border: 1px solid darkgray; width: 90%; text-align: center;"
|+ ANOVA data organization, Unbalanced, Single factor
|-
||
! colspan="6" style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;" | Lists of Group Observations
|-
| style="width:15%" |
| style="width:15%" | <math>I_{1}</math>
| style="width:15%" | <math>I_{2}</math>
| style="width:15%" | <math>I_{3}</math>
| style="width: 5%" | <math>\dotso</math>
| style="width:15%" | <math>I_{j}</math>
|-
|| 1 || <math>y_{11}</math> || <math>y_{12}</math> || <math>y_{13}</math> || || <math>y_{1j}</math>
|-
|| 2 || <math>y_{21}</math> || <math>y_{22}</math> || <math>y_{23}</math> || || <math>y_{2j}</math>
|-
|| 3 || <math>y_{31}</math> || <math>y_{32}</math> || <math>y_{33}</math> || || <math>y_{3j}</math>
|-
|| <math>\vdots</math> || || || || || <math>\vdots</math>
|-
|| <math>i</math> || <math>y_{i1}</math> || <math>y_{i2}</math> || <math>y_{i3}</math> || <math>\dotso</math> || <math>y_{ij}</math>
|-
| style="height:50px;" |  ||
|-
||
! colspan="6" style="border: 1px solid darkgray;" | Group Summary Statistics
! colspan="2" style="border: 1px solid darkgray;" | Grand Summary Statistics
|-
| style="text-align: left" | # Observed  || <math>I_1</math> || <math>I_2</math> || <math>\dotso</math>
|| <math>I_j</math>  || <math>\dotso</math> || <math>I_J</math>
| style="text-align: left" | # Observed  || <math>I = \sum I_j</math>
|-
| style="text-align: left" | Sum      || || ||
|| <math>\sum_i y_{ij}</math>                || ||
| style="text-align: left" |  Sum    || <math>\sum_j \sum_i y_{ij}</math>
|-
| style="text-align: left" | Sum Sq    || || ||
|| <math>\sum_i (y_{ij})^2</math>            || ||
| style="text-align: left" | Sum Sq  || <math>\sum_j \sum_i (y_{ij})^2</math>
|-
| style="text-align: left" | Mean      || <math>m_1</math> || <math>\dotso</math> ||
|| <math>m_j</math> || <math>\dotso</math>  || <math>m_J</math>
| style="text-align: left" |  Mean    || <math>m</math>
|-
| style="text-align: left" | Variance  || <math>s_1^2</math>|| <math>\dotso</math> ||
|| <math>s_j^2</math> || <math>\dotso</math> || <math>s_J^2</math>
| style="text-align: left" | Variance || <math>s^2</math>
|}


===模型===
比较模型和总结： <math>\mu = m</math> 和 <math>\mu_j = m_j</math>。总均值和总方差是根据总和计算的，而不是根据组均值和方差计算的。
正态线性模型描述了处理组的概率分布，它们是形状相同（正态）的曲线，但具有不同的均值。因此，拟合模型只需要每个处理组的均值和一个方差计算（使用治疗组内的平均方差）。假设检验中包括计算均值和方差的步骤。


通常用于完全随机实验的正态线性模型有：[8]
====假设检验====


这部分内容详细讨论了F检验的稳健性问题、对于非正态数据的F检验的功效，以及目前对这些问题的看法。还提到了非参数替代方法和ANOVA在秩上的讨论。最后，它讨论了固定效应、完全随机实验、不平衡数据的情形下的正态线性模型。
给定总结统计数据，假设检验的计算以表格形式展示。虽然展示了两列SS以说明它们的解释价值，但只需要一列来展示结果。
 
{| cellpadding="2" style="border: 1px solid darkgray; text-align=center;"
|+ ANOVA table for fixed model, single factor, fully randomized experiment
|-
!Source of variation
!Sums of squares
!Sums of squares
!Degrees of freedom
!Mean square
!F
|-
!
!Explanatory SS<ref>
{{Cite book
| last1 = Moore
| first1 = David S.
| last2 = McCabe
| first2 = George P.
| title = Introduction to the Practice of Statistics
| url = https://archive.org/details/isbn_9780716749127
| url-access = registration
| publisher = W H Freeman & Co.
| year = 2003
| edition = 4th
| page = 764
| isbn = 0716796570
}}
</ref>
!Computational SS<ref>
{{Cite book
| last1 = Winkler
| first1 = Robert L.
| last2 = Hays
| first2 = William L.
| title = Statistics: Probability, Inference, and Decision
| url = https://archive.org/details/statisticsprobab0000wink
| url-access = registration
| place = New York
| publisher = Holt, Rinehart and Winston
| year = 1975
| edition = 2nd
| page = [https://archive.org/details/statisticsprobab0000wink/page/761 761]
}}
</ref>
!DF
!MS
!
|-
!Treatments
! <math>\sum_{Treatments} I_j (m_j-m)^2</math>
! style="padding-left:1em;padding-right:1em" | <math>\sum_j \frac{(\sum_i y_{ij})^2}{I_j} - \frac{(\sum_j \sum_i y_{ij})^2}{I}</math>
! style="padding-left:1em;padding-right:1em" | <math>J-1</math>
! style="padding-left:1em;padding-right:1em" | <math>\frac{SS_{Treatment}}{DF_{Treatment}}</math>
! style="padding-left:1em;padding-right:1em" | <math>\frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}}</math>
|-
!Error
! <math>\sum_{Treatments} (I_j-1)s_j^2</math>
! <math>\sum_j \sum_i y_{ij}^2 - \sum_j \frac{(\sum_i y_{ij})^2}{I_j}</math>
! <math>I-J</math>
! <math>\frac{SS_{Error}}{DF_{Error}}</math>
|
|-
!Total
! <math>\sum_{Observations} (y_{ij}-m)^2</math>
! <math>\sum_j \sum_i y_{ij}^2 - \frac{(\sum_j \sum_i y_{ij})^2}{I}</math>
! <math>I-1</math>
|}
 
<math>MS_{Error}</math> 是对模型中 <math>\sigma^2</math> 的方差估计。
 
====分析总结====
核心ANOVA分析包括一系列计算。数据以表格形式收集。然后
* 每个处理组通过实验单元的数量、两个总和、一个均值和一个方差来进行总结。处理组总结合并以提供单位总数和总和。总均值和总方差是根据总和计算的。模型中使用处理和总均值。
* 从总结中计算出三个DF和SS。然后计算MS，比值决定F。
* 计算机通常根据F确定一个p值，以确定处理是否产生显著不同的结果。如果结果显著，那么模型暂时有效。
 
如果实验是平衡的，所有的 <math>I_j</math> 项都相等，所以SS方程简化了。
 
在更复杂的实验中，如果实验单元（或环境效应）不是均质的，行统计也用于分析。模型包括依赖于 <math>i</math> 的项。确定额外项会减少可用的自由度数量。


== '''节点使用的R语言示例代码''' ==
== '''节点使用的R语言示例代码''' ==

2024年1月15日 (一) 11:56的版本

One Way ANOVA.png
节点状态
PC可用
在 V1.0部署
One_Way_ANOVAOne Way ANOVA.svg
节点开发者决策链算法研发部 (Dev.Team-DPS)
节点英文名One Way ANOVA
功能主类别数据分析
英文缩写One Way ANOVA
功能亚类别方差分析
节点类型数据挖掘
开发语言R
节点简介

One Way ANOVA也称为单因素方差分析, 是用来检验多个平均数之间的差异, 从而确定因素对试验结果有无显著性影响。单因素则是实验中只选择一个因素。方差分析需要满足以下条件: 观察变量为连续变量且不存在显著的异常值,观测值相互独立且需要为两组以上变量, 各组观测值必须为或接近正态分布，多组整体方差相等。

用途：用于研究一个因素（或独立变量）在不同水平上对一个因变量的影响是否显著，也就是检验三个或更多组的平均值是否相等。如果你只有两个组，通常会使用t检验，但如果有三个或更多的组，那么应该使用ANOVA。

参数：选择正态分布数值因变量，和分组自变量

端口数量与逻辑控制(PC)
Input-入口4个
Output-出口3个
Loop-支持循环是
If/Switch-支持逻辑判断否
输入输出
可生成图片类型（推荐）
可生成数据表类型（推荐）
相关节点
上一节点F检验
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One Way ANOVA的概念（英语：Analysis of variance，简称ANOVA）

在统计学中，单因素方差分析（或单向ANOVA）是一种技术，用于比较两个样本的平均值是否存在显著差异（使用F分布）。这种方差分析技术要求一个数值型响应变量"Y"和一个单一的解释变量"X"，因此称为"单向"。[1]

ANOVA测试零假设，该假设声明所有组中的样本均来自具有相同平均值的总体。为此，需要对总体方差进行两次估计。这些估计依赖于各种假设（见下文）。ANOVA产生一个F统计量，即组间平均值计算的方差与样本内方差的比值。如果组平均值来自具有相同平均值的总体，那么组间平均值的方差应该低于样本的方差，根据中心极限定理。因此，较高的比值意味着样本来自具有不同平均值的总体。[1]

然而，通常情况下，单向ANOVA用于测试至少三个组之间的差异，因为两组的情况可以通过t检验（Gosset, 1908）覆盖。当只有两个平均值需要比较时，t检验和F检验是等价的；ANOVA与t之间的关系由F = t2给出。单向ANOVA的一个扩展是双因素方差分析，它考察了两个不同分类自变量对一个因变量的影响。

假设

只要满足以下假设，单向ANOVA的结果可以被认为是可靠的： 

 如果数据是顺序的，应使用这个测试的非参数替代方法，如克鲁斯卡尔-沃利斯单向方差分析。如果方差未知是否相等，可以

使用2样本韦尔奇t检验的泛化版本。[2]

偏离总体正态性

ANOVA是一个相对健壮的程序，对于违反正态性假设具有一定的容忍度。[3]

单向ANOVA可以推广到因子和多变量布局，以及协方差分析。, September 2014 {{citation}}: Cite has empty unknown parameters: |cat2=, |cat-date2=, |cat3=, |cat=, and |cat-date3= (help); Missing or empty |title= (help); Unknown parameter |cat-date= ignored (help)[clarification needed]

通常在流行文献中提到，当每个总体遵循正态分布的假设被严重违反时，这些F检验都不是健壮的，特别是对于小的阿尔法水平和不平衡的布局。[4] 此外，还有人声称，如果违反了同方差性的基本假设，I型错误的特性会严重恶化。[5]

以下是您要求的维基百科内容的中文翻译，我已保留Markdown格式和wiki标记：

然而，这是一个误解，基于20世纪50年代及更早期的工作。第一次全面调查这个问题的蒙特卡罗模拟是Donaldson（1966年）所作。[6] 他表明，在通常的偏差（正偏态，不等方差）下，“F-检验是保守的”，因此它找到一个变量显著性的可能性比它应该的要小。然而，随着样本量或单元数的增加，“功效曲线似乎趋于基于正态分布的那种”。Tiku（1971）发现，“F的非正态理论功效与正态理论功效的差异，可以通过一个随着样本量增加而急剧减少的修正项来表示。”[7] 非正态性问题，尤其是在大样本中，远没有流行文章所暗示的那么严重。

目前的观点是，“蒙特卡罗研究广泛用于基于正态分布的检验，以确定它们对违反被分析变量在人群中的正态分布假设的敏感性。这些研究的总体结论是，这种违反的后果不如以前认为的那样严重。虽然这些结论不应该完全阻止任何人关注正态性假设，但它们增加了所有研究领域中对分布依赖的统计检验的总体受欢迎程度。”[8]

关于因子布局中的非参数替代方法，请参见Sawilowsky。[9]

固定效应、完全随机实验、非平衡数据的情况

模型

正态线性模型描述的是具有不同均值的概率分布，这些分布都是形状相同的钟形（正态）曲线。因此，拟合模型只需要每个处理组的均值和方差计算（使用处理组内的平均方差）。作为假设检验的一部分，会进行均值和方差的计算。

对于一个完全随机实验，常用的正态线性模型包括：[10]

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{i,j}=\mu_j+\varepsilon_{i,j}} （均值模型）

或者

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{i,j}=\mu+\tau_j+\varepsilon_{i,j}} （效应模型）

其中

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i=1,\dotsc,I} 是实验单元的索引
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=1,\dotsc,J} 是处理组的索引
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_j} 是第j个处理组中的实验单元数量
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I = \sum_j I_j} 是实验单元的总数
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{i,j}} 是观察值
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mu_j} 是第j个处理组观察值的均值
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mu} 是所有观察值的总均值
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \tau_j} 是第j个处理效应，即偏离总均值的差异
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum\tau_j=0}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mu_j=\mu+\tau_j}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \varepsilon \thicksim N(0, \sigma^2)} , 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \varepsilon_{i,j}} 是正态分布的零均值随机误差。

关于实验单元的索引 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i} 可以有几种解释。在一些实验中，相同的实验单元会受到一系列处理；解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i} 可能指的是一个特定的单元。在其他实验中，每个处理组都有一组不同的实验单元；解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i} 可能仅仅是指向第 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j} 个列表的索引。

数据和数据的统计汇总

一种组织实验观察值 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{ij}} 的形式是将组放在列中：

ANOVA data organization, Unbalanced, Single factor
Lists of Group Observations
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_{1}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_{2}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_{3}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_{j}}
1 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{11}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{12}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{13}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{1j}}
2 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{21}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{22}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{23}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{2j}}
3 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{31}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{32}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{33}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{3j}}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \vdots} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \vdots}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{i1}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{i2}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{i3}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{ij}}
Group Summary Statistics Grand Summary Statistics
# Observed 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_1} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_2} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_j} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_J} # Observed 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I = \sum I_j}
Sum 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_i y_{ij}} Sum 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_j \sum_i y_{ij}}
Sum Sq 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_i (y_{ij})^2} Sum Sq 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_j \sum_i (y_{ij})^2}
Mean 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m_1} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m_j} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m_J} Mean 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m}
Variance 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle s_1^2} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle s_j^2} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dotso} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle s_J^2} Variance 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle s^2}

比较模型和总结： 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mu = m} 和 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mu_j = m_j} 。总均值和总方差是根据总和计算的，而不是根据组均值和方差计算的。

假设检验

给定总结统计数据，假设检验的计算以表格形式展示。虽然展示了两列SS以说明它们的解释价值，但只需要一列来展示结果。

ANOVA table for fixed model, single factor, fully randomized experiment
Source of variation Sums of squares Sums of squares Degrees of freedom Mean square F
Explanatory SS[11] Computational SS[12] DF MS
Treatments 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_{Treatments} I_j (m_j-m)^2} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_j \frac{(\sum_i y_{ij})^2}{I_j} - \frac{(\sum_j \sum_i y_{ij})^2}{I}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle J-1} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{SS_{Treatment}}{DF_{Treatment}}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}}}
Error 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_{Treatments} (I_j-1)s_j^2} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_j \sum_i y_{ij}^2 - \sum_j \frac{(\sum_i y_{ij})^2}{I_j}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I-J} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{SS_{Error}}{DF_{Error}}}
Total 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_{Observations} (y_{ij}-m)^2} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sum_j \sum_i y_{ij}^2 - \frac{(\sum_j \sum_i y_{ij})^2}{I}} 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I-1}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle MS_{Error}} 是对模型中 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sigma^2} 的方差估计。

分析总结

核心ANOVA分析包括一系列计算。数据以表格形式收集。然后

  • 每个处理组通过实验单元的数量、两个总和、一个均值和一个方差来进行总结。处理组总结合并以提供单位总数和总和。总均值和总方差是根据总和计算的。模型中使用处理和总均值。
  • 从总结中计算出三个DF和SS。然后计算MS，比值决定F。
  • 计算机通常根据F确定一个p值，以确定处理是否产生显著不同的结果。如果结果显著，那么模型暂时有效。

如果实验是平衡的，所有的 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I_j} 项都相等，所以SS方程简化了。

在更复杂的实验中，如果实验单元（或环境效应）不是均质的，行统计也用于分析。模型包括依赖于 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i} 的项。确定额外项会减少可用的自由度数量。

节点使用的R语言示例代码

配对样本

library(onewaytests)

out <- aov.test(Sepal.Length ~ Species, data = iris)
paircomp(out)
paircomp(out, adjust.method = "hochberg")

out2 <- kw.test(Sepal.Length ~ Species, data = iris)
paircomp(out2)
paircomp(out2, adjust.method = "hommel")

out3 <- kw.test(Sepal.Length ~ Species, data = iris)
paircomp(out3)
paircomp(out3, adjust.method = "holm")

方法参见R package: onewaytests的官方文档[13]

Anova

library(onewaytests)

aov.test(Sepal.Length ~ Species, data = iris)

out <- aov.test(Sepal.Length ~ Species, data = iris)
paircomp(out)

方法参见R package: onewaytests的官方文档[14]

节点使用指南

方法选择

对方法选择要点和关键事项进行表述。重点在于实用性。

参数配置

对参数配置中的一些关键点进行表述（比如变量类型、是否兼容空值、是否要规避复用等，比如立方条样变量不能和自变量重复等）。

注意事项

对注意事项进行表述。

视频链接

请前往视频号观看详细的使用指导。 点此链接


另行参见

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引用

  1. ↑ 1.0 1.1 Howell, David (2002). Statistical Methods for Psychology. Duxbury. pp. 324–325. ISBN 0-534-37770-X.
  2. ↑ Welch, B. L. (1951). "On the Comparison of Several Mean Values: An Alternative Approach". Biometrika. 38 (3/4): 330–336. doi:10.2307/2332579. JSTOR 2332579.
  3. ↑ Kirk, RE (1995). Experimental Design: Procedures For The Behavioral Sciences (3 ed.). Pacific Grove, CA, USA: Brooks/Cole.
  4. ↑ Blair, R. C. (1981). "A reaction to 'Consequences of failure to meet assumptions underlying the fixed effects analysis of variance and covariance.'". Review of Educational Research. 51 (4): 499–507. doi:10.3102/00346543051004499.
  5. ↑ Randolf, E. A.; Barcikowski, R. S. (1989). "Type I error rate when real study values are used as population parameters in a Monte Carlo study". Paper Presented at the 11th Annual Meeting of the Mid-Western Educational Research Association, Chicago.
  6. ↑ Donaldson, Theodore S. (1966). "Power of the F-Test for Nonnormal Distributions and Unequal Error Variances". Paper Prepared for United States Air Force Project RAND.
  7. ↑ Tiku, M. L. (1971). "Power Function of the F-Test Under Non-Normal Situations". Journal of the American Statistical Association. 66 (336): 913–916. doi:10.1080/01621459.1971.10482371.
  8. ↑ "Getting Started with Statistics Concepts". Archived from the original on 2018-12-04. Retrieved 2016-09-22.
  9. ↑ Sawilowsky, S. (1990). "Nonparametric tests of interaction in experimental design". Review of Educational Research. 60 (1): 91–126. doi:10.3102/00346543060001091.
  10. ↑ Montgomery, Douglas C. (2001). Design and Analysis of Experiments (5th ed.). New York: Wiley. p. Section 3–2. ISBN 9780471316497.
  11. ↑ Moore, David S.; McCabe, George P. (2003). Introduction to the Practice of Statistics (4th ed.). W H Freeman & Co. p. 764. ISBN 0716796570.
  12. ↑ Winkler, Robert L.; Hays, William L. (1975). Statistics: Probability, Inference, and Decision (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 761.
  13. ↑ StatsapeSite.svghttps://CRAN.R-project.org/package=onewaytests. 决策链云智库. Retrieved 2023.12.20
  14. ↑ StatsapeSite.svghttps://CRAN.R-project.org/package=onewaytests. 决策链云智库. Retrieved 2023.12.20



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