数学形态学（MM）是一种基于集合论、格理论、拓扑学和随机函数的几何结构分析和处理的理论与技术。MM最常应用于数字图像，但也可以用于图、表面网格、固体以及其他许多空间结构。
拓扑和几何 连续空间概念，如大小、形状、凸性、连通性和测地距离，是由MM在连续和离散空间中引入的。MM也是形态学图像处理的基础，包含一系列根据上述特征转换图像的运算符。
MM最初是为二值图像开发的，后来扩展到灰度 函数和图像。随后对完备格的概括今天被广泛接受为MM的理论基础。
历史
1964年，Georges Matheron和Jean Serra在法国巴黎矿业学校的合作研究中开发了数学形态学。Matheron指导了Serra的博士论文，专注于从薄横截面中量化矿物特性，这项工作导致了实践方法的创新以及积分几何和拓扑学的理论进步。
1968年，数学形态学中心由巴黎矿业学校在Fontainebleau，法国成立，由Matheron和Serra领导。
在1960年代剩余时间和大部分1970年代，MM主要处理二值图像，将其视为集合，并产生了大量二元运算符和技术：击中或错过变换、膨胀、侵蚀、开运算、闭运算、粒度测量、变薄、拓扑骨架、终极侵蚀、条件平分线等。还开发了基于新型图像模型的随机方法。在那个时期，大部分工作都是在Fontainebleau进行的。
从1970年代中期到1980年代中期，MM也被推广到灰度函数和图像。除了将主要概念（如膨胀、侵蚀等）扩展到函数外，这种推广还产生了新的运算符，如形态梯度、顶帽变换和分水岭（MM的主要分割方法）。
在1980年代和1990年代，MM获得了更广泛的认可，因为几个国家的研究中心开始采用和研究这种方法。MM开始应用于大量成像问题和应用，特别是在非线性滤波噪声图像领域。
1986年，Serra进一步将MM推广到基于完备格的理论框架。这种推广为理论带来了灵活性，使其能够应用于更多的结构，包括彩色图像、视频、图、网格等。与此同时，Matheron和Serra还基于新的格框架，为形态学过滤制定了理论。
1990年代和2000年代还看到了进一步的理论进展，包括连接和水平调整的概念。
1993年，第一届国际数学形态学研讨会（ISMM）在西班牙 巴塞罗那举行。此后，ISMM每2-3年组织一次：Fontainebleau，法国（1994年）；亚特兰大，美国（1996年）；阿姆斯特丹，荷兰（1998年）；帕洛阿尔托，加州，美国（2000年）；悉尼，澳大利亚（2002年）；巴黎，法国（2005年）；里约热内卢，巴西（2007年）；荷兰 格罗宁根（2009年）；Intra (韦尔巴尼亚)，意大利（2011年）；乌普萨拉，瑞典（2013年）；雷克雅未克，冰岛（2015年）；以及Fontainebleau，法国（2017年）。
参考文献
- Pierre Soille在(Serra et al. (编者) 1994)的“导言”，第1-4页。
- Jean Serra在(Serra et al. (编者) 1994)的“附录A: 数学形态学中心概述”，第369-374页。
- 在(Ronse et al. (编者) 2005)的“前言”
二元形态学
在二元形态学中，图像被视为欧几里得空间 [math]\mathbb{R}^d[/math] 或整数网格 [math]\mathbb{Z}^d[/math]的子集，其中d是某个维度。
结构元素
二元形态学的基本思想是用一个简单的、预定义的形状探测图像，从中得出这个形状如何适应或不适应图像中的形状的结论。这个简单的“探针”被称为结构元素，它本身是一个二值图像（即空间或网格的子集）。
以下是一些广泛使用的结构元素（由B表示）的示例：
- 设定 [math]E = \mathbb{R}^2[/math]；B 是一个以原点为中心，半径为r的开放圆盘。
- 设定 [math]E = \mathbb{Z}^2[/math]；B 是一个3 × 3的正方形，即B = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}。
- 设定 [math]E = \mathbb{Z}^2[/math]；B 是由B = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}给出的“十字”。
基本操作
基本操作是与明可夫斯基加法密切相关的位移不变（平移不变）操作。
设E是欧几里得空间或整数网格，A是E中的二值图像。
腐蚀
二值图像A被结构元素B腐蚀的定义为
- [math]A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\},[/math]
其中Bz是B通过向量z的平移，即 [math]B_z = \{b + z \mid b \in B\}[/math]， [math]\forall z \in E[/math]。
当结构元素B有一个中心（例如，B是一个圆盘或正方形），且该中心位于E的原点时，则可以理解为A被B腐蚀为B中心在B移动到A内时所达到的点的轨迹。例如，一个边长为10，中心位于原点的正方形，被同样中心位于原点的半径为2的圆盘腐蚀，其结果是一个边长为6，中心位于原点的正方形。
A被B腐蚀也可以表示为 [math]A \ominus B = \bigcap_{b \in B} A_{-b}[/math]。
应用示例：假设我们收到了一份暗色复印的传真。一切看起来像是用渗墨的笔写的。腐蚀过程将使较粗的线变细，并检测出字母“o”内部的空洞。
扩张
A被结构元素B扩张的定义为
- [math]A \oplus B = \bigcup_{b \in B} A_b.[/math]
扩张是可交换的，也可表示为 [math]A \oplus B = B \oplus A = \bigcup_{a \in A} B_a[/math]。
如果B的中心位于原点，如前所述，则可以理解为A被B扩张为当B的中心在A内移动时，B覆盖的点的轨迹。在上述例子中，边长为10的正方形被半径为2的圆盘扩张，其结果是一个边长为14，圆角半径为2，中心位于原点的正方形。
扩张也可以通过 [math]A \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A \neq \varnothing\}[/math] 获得，其中Bs表示B的对称体，即 [math]B^s = \{x \in E \mid -x \in B\}[/math]。
应用示例：扩张是腐蚀的对偶操作。轻微绘制的图形在“扩张”时变粗。最简单的描述方式是想象同一传真/文本是用更粗的笔写的。
开运算
A被B的开运算是通过先对A进行B的腐蚀，然后对结果图像进行B的扩张得到的：
- [math]A \circ B = (A \ominus B) \oplus B.[/math]
开运算也可以表示为 [math]A \circ B = \bigcup_{B_x \subseteq A} B_x[/math]，意味着它是结构元素B在图像A内部的平移轨迹。在边长为10的正方形和半径为2的圆盘作为结构元素的情况下，开运算是一个边长为10，角半径为2的圆角正方形。
应用示例：假设有人在不吸墨的纸上写了一张便条，写作看起来好像到处长着细小的毛根。开运算本质上去除了外部的细小“毛线”泄漏，并恢复了文本。副作用是它使事物变圆。尖锐的边缘开始消失。
闭运算
A被B的闭运算是通过先对A进行B的扩张，然后对结果结构进行B的腐蚀得到的：
- [math]A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B.[/math]
闭运算也可以通过 [math]A \bullet B = (A^c \circ B^s)^c[/math] 获得，其中Xc表示X相对于E的补集（即 [math]X^c = \{x \in E \mid x \notin X\}[/math]）。上述意味着闭运算是结构元素的对称体外部图像A的平移轨迹的补集。
基本运算符的属性
以下是基本二元形态学运算符（膨胀、腐蚀、开运算和闭运算）的一些属性：
- 它们具有平移不变性。
- 它们是递增的，即，如果[math]A\subseteq C[/math]，那么[math]A\oplus B \subseteq C\oplus B[/math]，以及[math]A\ominus B \subseteq C\ominus B[/math]等。
- 膨胀运算是可交换的：[math]A\oplus B = B\oplus A[/math]。
- 如果集合E的原点属于结构元素B，则[math]A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B[/math]。
- 膨胀运算是结合的，即，[math](A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)[/math]。此外，腐蚀运算满足[math](A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)[/math]。
- 腐蚀和膨胀运算满足对偶性[math]A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}[/math]。
- 开运算和闭运算满足对偶性[math]A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}[/math]。
- 膨胀运算是对集合并的分配。
- 腐蚀运算是对集合交的分配。
- 膨胀运算是腐蚀运算的伪逆，反之亦然，具体来说：[math]A\subseteq (C\ominus B)[/math]当且仅当[math](A\oplus B)\subseteq C[/math]。
- 开运算和闭运算是幂等的。
- 开运算是反扩张的，即，[math]A\circ B\subseteq A[/math]，而闭运算是扩张的，即，[math]A\subseteq A\bullet B[/math]。
其他运算符和工具
灰度形态学
在灰度形态学中，图像是将欧几里得空间或网格E映射到[math]\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}[/math]的函数，其中[math]\mathbb{R}[/math]是实数集合，[math]\infty[/math]是比任何实数都大的元素，而[math]-\infty[/math]是比任何实数都小的元素。
灰度结构元素也是同样格式的函数，称为"结构函数"。
用f(x)表示图像，b(x)表示结构函数，B表示g的支持集，f通过b的灰度膨胀定义为
- [math](f \oplus b)(x) = \sup_{y \in B}[f(y) + b(x - y)],[/math]
其中"sup"表示上确界。
同样地，f通过b的腐蚀定义为
- [math](f \ominus b)(x) = \inf_{y \in B}[f(y) - b(y - x)],[/math]
其中"inf"表示下确界。
就像在二值形态学中一样，开运算和闭运算分别由
- [math]f \circ b = (f \ominus b) \oplus b,[/math]
- [math]f \bullet b = (f \oplus b) \ominus b.[/math]给出。
平面结构函数
在形态学应用中常用平面结构元素。平面结构函数是形式为b(x)的函数
- [math]b(x) = \begin{cases}
0, & x \in B, \\ -\infty & \text{otherwise}, \end{cases}[/math]
其中[math]B \subseteq E[/math]。
在这种情况下，膨胀和腐蚀被大大简化，分别由
- [math](f \oplus b)(x) = \sup_{z \in B^s} f(x + z),[/math]
- [math](f \ominus b)(x) = \inf_{z \in B} f(x + z).[/math]给出。
在有界、离散的情况下（E是网格且B是有界的），上确界和下确界运算符可以被最大值和最小值替换。因此，膨胀和腐蚀是顺序统计过滤器的特殊情况，膨胀返回移动窗口（结构函数支持B的对称部分）内的最大值，而腐蚀返回移动窗口B内的最小值。
在平面结构元素的情况下，形态学运算符仅依赖于像素值的相对顺序，而不论其数值，因此特别适合处理二值图像和灰度图像，其光传输函数未知。
其他运算符和工具
通过组合这些运算符，可以获得许多图像处理任务的算法，如特征检测、图像分割、图像锐化、图像过滤和分类。 沿着这条线路，还应该研究Continuous Morphology[1]
完备格上的数学形态学
完备格是部分有序集，其中每个子集都有一个下确界和一个上确界。特别地，它包含一个最小元素和一个最大元素（也称为"宇宙"）。
伴随（膨胀和侵蚀）
设 [math](L,\leq)[/math] 为一个完备格，其下确界和上确界分别用符号 [math]\wedge[/math] 和 [math]\vee[/math] 表示。其全集和最小元素分别用 U 和 [math]\emptyset[/math] 表示。此外，设 [math]\{ X_{i} \}[/math] 为 L 中元素的集合。
膨胀是任意运算符 [math]\delta\colon L\rightarrow L[/math]，其分配到上确界，并保持最小元素不变。即：
- [math]\bigvee_{i}\delta(X_i)=\delta\left(\bigvee_{i} X_i\right)[/math]，
- [math]\delta(\emptyset)=\emptyset[/math]。
侵蚀是任意运算符 [math]\varepsilon\colon L\rightarrow L[/math]，其分配到下确界，并保持全集不变。即：
- [math]\bigwedge_{i}\varepsilon(X_i)=\varepsilon\left(\bigwedge_{i} X_i\right)[/math]，
- [math]\varepsilon(U)=U[/math]。
膨胀和侵蚀形成伽罗瓦连接。也就是说，对于每个膨胀 [math]\delta[/math]，存在唯一的侵蚀 [math]\varepsilon[/math] 满足
- [math]X\leq \varepsilon(Y)\Leftrightarrow \delta(X)\leq Y[/math]
对所有的 [math]X,Y\in L[/math] 都成立。
同样地，对于每个侵蚀，也存在唯一的膨胀满足上述联系。
此外，如果两个运算符满足这种联系，则 [math]\delta[/math] 必须是膨胀，而 [math]\varepsilon[/math] 必须是侵蚀。
满足上述联系的侵蚀和膨胀对被称为“伴随”，并且侵蚀被认为是膨胀的伴随侵蚀，反之亦然。
开操作和闭操作
对于每个伴随 [math](\varepsilon,\delta)[/math]，形态学开操作 [math]\gamma \colon L \to L[/math] 和形态学闭操作 [math]\phi \colon L \to L[/math] 定义如下：
- [math]\gamma = \delta\varepsilon,[/math]
- [math]\phi = \varepsilon\delta.[/math]
形态学开操作和闭操作是代数开操作（简称开操作）和代数闭操作（简称闭操作）的特例。代数开操作是 L 中的运算符，它们是幂等的、单调递增的，并且是反广义的。代数闭操作是 L 中的运算符，它们是幂等的、单调递增的，并且是广义的。
特定情形
二值形态学是格形态学的一个特例，其中 L 是 E（欧几里得空间或网格）的幂集，即 L 是 E 的所有子集的集合，而 [math]\leq[/math] 是集合包含。在这种情况下，下确界是集合交集，上确界是集合并集。
类似地，灰度形态学是另一个特例，其中 L 是将 E 映射到 [math]\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}[/math] 的函数集，而 [math]\leq[/math]、[math]\vee[/math] 和 [math]\wedge[/math] 分别是逐点顺序、上确界和下确界。也就是说，如果 f 和 g 是 L 中的函数，则 [math]f\leq g[/math] 当且仅当 [math]f(x)\leq g(x),\forall x\in E[/math]；下确界 [math]f\wedge g[/math] 由 [math](f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)[/math] 给出；上确界 [math]f\vee g[/math] 由 [math](f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)[/math] 给出。
另行参见
引用
- ↑ G. Sapiro, R. Kimmel, D. Shaked, B. Kimia, and A. M. Bruckstein. 通过曲线演化实现连续尺度形态学. Pattern Recognition, 26(9):1363–1372, 1993.
参考文献
- 图像分析与数学形态学 作者：让·塞拉（Jean Serra），ISBN 0-12-637240-3 （1982年）
- 图像分析与数学形态学 第2卷：理论进展 作者：让·塞拉（Jean Serra），ISBN 0-12-637241-1 （1988年）
- 形态学图像处理导论 作者：爱德华·R·多尔蒂（Edward R. Dougherty），ISBN 0-8194-0845-X （1992年）
- 形态学图像分析；原理与应用 作者：皮埃尔·索伊尔（Pierre Soille），ISBN 3-540-65671-5 （1999年），第2版（2003年）
- 数学形态学及其在信号处理中的应用，作者：J. Serra 和 Ph. Salembier（编者），第1届国际数学形态学及其在信号处理中的应用研讨会（ISMM'93）论文集，ISBN 84-7653-271-7 （1993年）
- 数学形态学及其在图像处理中的应用，作者：J. Serra 和 P. Soille（编者），第2届国际数学形态学研讨会（ISMM'94）论文集，ISBN 0-7923-3093-5 （1994年）
- 数学形态学及其在图像与信号处理中的应用，作者：亨克·J.A.M. 海曼斯和乔斯·B.T.M. 罗尔丁克（Henk J.A.M. Heijmans and Jos B.T.M. Roerdink）（编者），第4届国际数学形态学研讨会（ISMM'98）论文集，ISBN 0-7923-5133-9 （1998年）
- 数学形态学：40年，作者：克里斯蒂安·隆斯、劳伦特·纳杰曼和埃蒂安·德肯西埃（Christian Ronse, Laurent Najman, and Etienne Decencière）（编者），ISBN 1-4020-3442-3 （2005年）
- 数学形态学及其在信号与图像处理中的应用，作者：杰拉尔德·J.F. 巴农、小巴雷拉和乌利塞斯·M. 布拉加-内托（Gerald J.F. Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto）（编者），第8届国际数学形态学研讨会（ISMM'07）论文集，ISBN 978-85-17-00032-4 （2007年）
- 数学形态学：从理论到应用，作者：劳伦特·纳杰曼和休斯·塔尔博特（Laurent Najman and Hugues Talbot）（编者）。ISTE-Wiley。ISBN 978-1-84821-215-2。（520页） 2010年6月
外部链接
- [数学形态学在线课程]，讲师：让·塞拉（Jean Serra）（提供英语、法语和西班牙语）
- 数学形态学中心，巴黎矿业学校
- [数学形态学历史]，作者：乔治·马特龙和让·塞拉（Georges Matheron and Jean Serra）
- 数学形态学文摘，作者：皮埃尔·索伊尔（Pierre Soille）
- 图像处理讲座：范德堡大学的18讲PDF格式讲座集。讲座16-18关于数学形态学，作者：艾伦·彼得斯（Alan Peters）
- [数学形态学；来自计算机视觉讲座]，讲师：Robyn Owens
- SMIL - 简单（但高效）的形态学图像库（来自巴黎矿业学校）
- 免费的SIMD优化图像处理库
- [Java小程序演示]
- FILTERS：免费开源图像处理库
- [快速形态学腐蚀、膨胀、开启和闭合]
- 使用Matlab的神经元形态学分析