时序分析

时间序列是按时间顺序排列的数据点序列
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时间序列：随机数据加趋势，配有最佳拟合线和不同的过滤器

在数学中，时间序列是按时间顺序索引（或列出或绘制）的数据点序列。最常见的，时间序列是在时间上连续且等间隔的点上取得的序列。因此，它是离散时间数据的序列。时间序列的例子包括海洋潮汐的高度，太阳黑子的数量，以及道琼斯工业平均指数的每日收盘值。

时间序列通常通过运行图（即时间性的折线图）绘制。时间序列在统计学、信号处理、模式识别、计量经济学、数理金融、天气预报、地震预测、脑电图、控制工程学、天文学、通信工程学以及涉及时间测量的应用科学和工程学的任何领域都有广泛应用。

时间序列 分析 包括分析时间序列数据以提取有意义的统计数据和数据的其他特征的方法。时间序列 预测 是使用模型基于先前观察到的值来预测未来值。虽然回归分析经常被用来测试一个或多个不同时间序列之间的关系，但这类分析通常不被称为“时间序列分析”，它特别指的是单个序列内不同时间点之间的关系。

时间序列数据具有自然的时间顺序性。这使时间序列分析区别于横断面研究，在横断面研究中，观察结果没有自然的顺序（例如，通过参考各自的教育水平来解释人们的工资，个体数据可以以任何顺序输入）。时间序列分析也与空间数据分析不同，后者的观察结果通常与地理位置有关（例如，通过位置以及房屋的内在特性来解释房价）。时间序列的随机模型通常反映出这样一个事实：时间上接近的观察结果比时间上较远的观察结果更密切相关。此外，时间序列模型通常会利用时间的自然单向排序，以便某一时期的值以某种方式表示为源自过去的值，而不是未来的值（见时间可逆性)。

时间序列分析可以应用于实值、连续数据、离散 数值数据或离散符号数据（即字符序列，如英语中的字母和单词[1]）。

分析方法

时间序列分析方法可以分为两大类：频域方法和时域方法。前者包括频谱分析和小波分析；后者包括自相关和互相关分析。在时域中，相关性和分析可以使用比例相关性以类似滤波器的方式进行，从而减少在频域操作的需要。

此外，时间序列分析技术可以分为参数和非参数方法。参数方法假设底层平稳随机过程具有一定的结构，可以使用少量的参数描述（例如，使用自回归或移动平均模型）。在这些方法中，任务是估计描述随机过程的模型的参数。相比之下，非参数方法明确估计过程的协方差或频谱，而不假设该过程具有任何特定的结构。

时间序列分析方法还可以分为线性和非线性，以及单变量和多变量。

面板数据

时间序列是面板数据的一种类型。面板数据是一般类别，是多维数据集，而时间序列数据集是一维面板（如同横断面数据集）。数据集可能同时具有面板数据和时间序列数据的特征。判断的一种方式是询问什么使一个数据记录与其他记录不同。如果答案是时间数据字段，则这是时间序列数据集的候选。如果确定唯一记录需要一个时间数据字段和一个与时间无关的额外标识符（例如，学生ID、股票代码、国家代码），则它是面板数据候选。如果区分依据是非时间标识符，则该数据集是横断面数据集的候选。

分析

有多种类型的动机和数据分析可用于时间序列，适用于不同的目的。

动机

在统计学、计量经济学、定量金融、地震学、气象学和地球物理学的背景下，时间序列分析的主要目标是预测。在信号处理、控制工程和通信工程的背景下，它用于信号检测。其他应用包括数据挖掘、模式识别和机器学习，在这些领域中，时间序列分析可用于聚类，[2][3] 分类，[4] 按内容查询，[5] 异常检测以及预测。[6]

探索性分析

美国1953-2009年肺结核发病率
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Further information: 探索性分析

检查常规时间序列的一种直接方法是手动使用折线图。右侧显示了一个示例图表，展示了使用电子表格程序制作的美国肺结核发病率。案例数量标准化为每10万人的比率，并计算了这一比率每年的百分比变化。几乎稳步下降的线条显示大多数年份中TB发病率正在下降，但这一比率的百分比变化最多可达+/- 10％，1975年和1990年代初出现“激增”。使用两个垂直轴可以在一个图形中比较两个时间序列。

对企业数据分析师的研究发现探索性时间序列分析面临两个挑战：发现有趣模式的形状，并为这些模式找到解释。[7] 将时间序列数据表示为热图矩阵的视觉工具可以帮助克服这些挑战。

其他技术包括：

  • 自相关分析，以检查序列依赖性
  • 频谱分析，用于检查不一定与季节性相关的周期性行为。例如，太阳黑子活动在11年周期内变化。[8][9] 其他常见示例包括天体现象、天气模式、神经活动、商品价格和经济活动。
  • 将分量分离为代表趋势、季节性、缓慢和快速变化以及周期性不规则性：参见趋势估计和时间序列分解

曲线拟合

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Main article: Curve fitting

曲线拟合[10][11] 是构建一个与一系列data点最匹配的curve或数学函数的过程，[12] 这个过程可能受到约束。[13][14] 曲线拟合可以涉及interpolation，[15][16] 即对数据的精确拟合，或smoothing，[17][18] 即构建一个大致拟合数据的“平滑”函数。一个相关话题是regression analysis，[19][20] 它更多关注诸如在拟合带有随机误差观测数据的曲线时存在多少不确定性等statistical inference问题。拟合的曲线可以作为数据可视化的辅助工具，[21][22] 用于推断无数据可用的函数值，[23] 并总结两个或多个变量之间的关系。[24] Extrapolation 是指在观测数据范围之外，基于变量与其他变量的关系来估计变量值的过程，[25] 它受到不确定性程度的影响，[26] 因为它可能反映了构建曲线的方法，同时也反映了观测数据。

增长方程

对于通常预期会增长的过程，可以通过估算其参数来拟合右侧图形中的一条曲线（以及许多其他曲线）。

构建经济时间序列涉及到通过在早期和晚期日期之间的值（“基准”）进行interpolation来估计某些日期的某些组成部分。插值是在两个已知数量（历史数据）之间估算未知数量，或者从可用信息中推断出缺失信息（“阅读行间信息”）。[27] 当周围数据可用且其趋势、季节性和长期周期已知时，插值非常有用。这通常通过使用所有相关日期已知的相关序列来完成。[28] 另一种方法是使用polynomial interpolation或spline interpolation，在这里，将分段polynomial函数拟合到时间间隔中，使它们平滑地结合在一起。与插值密切相关的另一个问题是用简单函数近似复杂函数（也称为回归）。回归和插值之间的主要区别在于，多项式回归给出一个模拟整个数据集的单一多项式。而样条插值则产生一个由许多多项式组成的分段连续函数来模拟数据集。

外推是在原始观测范围之外，基于一个变量与另一个变量的关系来估计该变量值的过程。它与内插相似，后者在已知观测值之间产生估计，但外推存在更大的不确定性和产生无意义结果的风险更高。

函数逼近

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Main article: Function approximation

一般而言，函数逼近问题要求我们在一个明确定义的类别中选择一个函数，这个函数能以特定于任务的方式紧密匹配（"逼近"）一个目标函数。 函数逼近问题可以区分为两大类：首先，对于已知的目标函数，逼近理论是数值分析的一个分支，研究如何用特定类别的函数（例如，特殊函数）逼近某些已知函数（例如，多项式或有理函数），这些函数通常具有理想的特性（计算成本低、连续性、积分和极限值等）。

其次，目标函数，称之为g，可能是未知的；不是提供一个明确的公式，而是仅提供一组点（一个时间序列），形式为 (x, g(x))。根据g的域和陪域的结构，可能适用多种逼近g的技术。例如，如果g是对实数的操作，可以使用内插、外推、回归分析和曲线拟合等技术。如果g的陪域（值域或目标集）是一个有限集，那么就涉及到分类问题。一个相关的在线时间序列逼近问题[29]是一次性总结数据并构建一个近似表示，这个表示能支持各种时间序列查询，并对最坏情况下的误差有界限。

在某种程度上，不同的问题（回归、分类、适应度逼近）在统计学习理论中得到了统一的处理，它们被视为监督学习问题。

预测和预报

在统计学中，预测是统计推断的一部分。这种推断的一个特定方法被称为预测性推断，但预测可以在统计推断的几种方法中进行。实际上，统计学的一个描述是，它提供了一种将关于人口样本的知识转移到整个人口以及其他相关人口的手段，这并不一定与随时间的预测相同。当信息随时间转移，通常是转移到特定时间点，这个过程被称为预报。

  • 完整的统计模型用于随机模拟目的，以产生时间序列的替代版本，代表未来非特定时间段内可能发生的情况
  • 简单或完整的统计模型来描述时间序列在近期未来的可能结果，鉴于对最近结果的了解（预报）。
  • 时间序列上的预测通常使用自动化统计软件包和编程语言进行，如Julia、Python、R、SAS、SPSS等。
  • 大规模数据上的预测可以使用Apache Spark和第三方包Spark-TS库进行。[30]

分类

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Main article: Statistical classification

将时间序列模式分配到特定类别，例如根据一系列手势动作在手语中识别一个词。

信号估计

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See also: Signal processing and Estimation theory

这种方法基于谐波分析和使用傅里叶变换在频域中对信号进行过滤，以及谱密度估计，其发展在第二次世界大战期间由数学家诺伯特·维纳、电气工程师鲁道夫·E·卡尔曼、丹尼斯·加博等人为了从噪声中过滤信号和预测某一时间点的信号值而显著加速。参见卡尔曼滤波器、估计理论和数字信号处理

分割

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Main article: Time-series segmentation

将时间序列分割成一系列片段。通常情况下，时间序列可以表示为一系列具有各自特征属性的个别片段。例如，电话会议的音频信号可以划分为对应于每个人讲话时的片段。在时间序列分割中，目标是识别时间序列中的片段边界点，并描述与每个片段相关的动态属性。可以使用变点检测来解决这个问题，或者将时间序列建模为更复杂的系统，如马尔可夫跳跃线性系统。

聚类

时间序列数据可以被聚类，但在考虑子序列聚类时需要特别注意。[31] 时间序列聚类可分为：

  • 整体时间序列聚类（寻找多个时间序列的聚类）
  • 子序列时间序列聚类（单个时间序列，使用滑动窗口分割成块）
  • 时间点聚类

子序列时间序列聚类

子序列时间序列聚类导致不稳定（随机）的聚类，这是通过使用滑动窗口进行块划分的特征提取引起的。[32] 研究发现，聚类中心（聚类中时间序列的平均值 - 也是一个时间序列）遵循任意移动的正弦模式（不论数据集如何，即使是在random walk的实现上）。这意味着找到的聚类中心对数据集来说是非描述性的，因为聚类中心始终是非代表性的正弦波。

模型

时间序列数据的模型可以有多种形式，代表不同的随机过程。在建模过程水平的变化时，三个实用重要性广泛的类别是自回归（AR）模型、整合（I）模型和移动平均（MA）模型。这三个类别依赖于之前的数据点线性关系。[33] 这些想法的组合产生了自回归移动平均（ARMA）和自回归整合移动平均（ARIMA）模型。自回归部分整合移动平均（ARFIMA）模型是前三种模型的泛化。这些类别的扩展，用于处理向量值数据，在多变量时间序列模型的标题下可用，有时前述缩写通过包含一个表示“向量”的初始“V”，如VAR代表向量自回归，被扩展。这些模型的另一套扩展可用于观测时间序列由某些“强制”时间序列驱动的情况（这可能对观测序列没有因果效应）：与多变量情况的区别在于，强制序列可能是确定性的或在实验者的控制之下。对于这些模型，缩写在末尾加上一个“X”表示“外生”。

时间序列中级别对先前数据点的非线性依赖引起了人们的兴趣，部分原因是它可能产生一种混沌时间序列。然而，更重要的是，实证调查可以表明，相较于线性模型，使用基于非线性模型得出的预测有其优势，例如在nonlinear autoregressive exogenous model中。关于非线性时间序列分析的进一步参考文献：(Kantz and Schreiber)，[34] 以及 (Abarbanel)[35]

在其他类型的非线性时间序列模型中，有模型用来表示随时间变化的方差（heteroskedasticity）。这些模型代表了autoregressive conditional heteroskedasticity（ARCH），并包括了各种表现形式（GARCH、TARCH、EGARCH、FIGARCH、CGARCH等）。在这里，变异性的变化与观测序列的最近过去值相关，或由其预测。这与其他可能的局部变异性表示形式形成对比，其中变异性可能被模型化为由一个单独的时变过程驱动，如在doubly stochastic model中。

在最近关于无模型分析的工作中，基于小波变换的方法（例如局部稳定小波和小波分解神经网络）获得了青睐。多尺度（通常被称为多分辨率）技术分解了给定的时间序列，试图在多个尺度上展示时间依赖性。另见Markov switching multifractal（MSMF）技术，用于建模波动性演变。

Hidden Markov model（HMM）是一种统计马尔可夫模型，其中被建模的系统假设为具有未观察到的（隐藏的）状态的马尔可夫过程。HMM可以被视为最简单的dynamic Bayesian network。HMM模型广泛应用于speech recognition，将一系列口语化的单词转换为文本。

许多这样的模型被收集在python包sktime中。

符号

时间序列分析使用了多种不同的符号。一种常见的符号，指定一个由natural numbers索引的时间序列X，写为：

X = (X1, X2, ...).

另一种常见的符号是：

Y = (Yt: t ∈ T),

其中T是index set。

条件

大部分理论建立在两组条件下：

遍历性意味着平稳性，但反之则不一定。平稳性通常分为strict stationarity和宽意义或second-order stationarity。这些条件下可以开发模型和应用，尽管后者的模型可能被视为只部分指定。

此外，时间序列分析可以应用于季节性平稳或非平稳的序列。频率成分幅度随时间变化的情况可以通过time-frequency analysis处理，该方法使用时间序列或信号的time–frequency representation。[36]

工具

用于研究时间序列数据的工具包括：

测量

用于时间序列分类或回归分析的时间序列度量或特征：[39]

可视化

时间序列可以通过两类图表进行可视化：重叠图表和分离图表。重叠图表在同一布局上显示所有时间序列，而分离图表则在不同的布局上展示它们（但为了比较目的进行对齐）[43]

重叠图表

分离图表

  • 地平线图
  • 缩减线图（小倍数）
  • 轮廓图
  • 圆形轮廓图

See also

引用

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延伸阅读

外部链接

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