秩和检验 - 版本历史

2024年1月24日 (三) 03:33 RainW

2024-01-24T03:33:02Z

2024年1月24日 (三) 02:59 RainW

2024-01-24T02:59:46Z

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	1. 计算[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]。		1. 计算[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]。
	2. 排序[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]，并使用这个排序列表分配排名[math]R_1, \dots, R_n[/math]：最小观测值的排名为一，下一个最小的排名为二，依此类推。		2. 排序[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]，并使用这个排序列表分配排名[math]R_1, \dots, R_n[/math]：最小观测值的排名为一，下一个最小的排名为二，依此类推。
	3. 让[math]\sgn[/math]表示[[符号函数]]：[math]\sgn(x) = 1[/math]如果[math]x > 0[/math]，[math]\sgn(x) = -1[/math]如果[math]x < 0[/math]。[[检验统计量]]是''符号秩和''[math]T[/math]：[math display="block"]T = \sum_{i=1}^N \sgn(X_i)R_i.[/math]		3. 让[math]\operatorname{sgn}[/math]表示[[符号函数]]：[math]\operatorname{sgn}(x) = 1[/math]如果[math]x > 0[/math]，[math]\operatorname{sgn}(x) = -1[/math]如果[math]x < 0[/math]。[[检验统计量]]是''符号秩和''[math]T[/math]：[math display="block"]T = \sum_{i=1}^N \operatorname{sgn}(X_i)R_i.[/math]
	4. 通过将[math]T[/math]与其在零假设下的分布进行比较，产生一个[math]p[/math]值。		4. 通过将[math]T[/math]与其在零假设下的分布进行比较，产生一个[math]p[/math]值。

第149行：		第149行：
	此段落拥有单边的‘[math]’p‘[/math]’值为 [math]109/2^{13}[/math]。因此，在任何显著性水平 [math]\alpha > 109/2^{13} \approx 0.0133[/math] 下，样本将被判断为显著正向。悖论在于，如果 [math]\alpha[/math] 在 [math]109/2^{13}[/math] 和 [math]55/2^{12}[/math] 之间，则‘[math]’减少‘[/math]’一个不显著的样本会使其显得显著‘[math]’正向‘[/math]’。		此段落拥有单边的‘[math]’p‘[/math]’值为 [math]109/2^{13}[/math]。因此，在任何显著性水平 [math]\alpha > 109/2^{13} \approx 0.0133[/math] 下，样本将被判断为显著正向。悖论在于，如果 [math]\alpha[/math] 在 [math]109/2^{13}[/math] 和 [math]55/2^{12}[/math] 之间，则‘[math]’减少‘[/math]’一个不显著的样本会使其显得显著‘[math]’正向‘[/math]’。

	因此，Pratt 提出了‘[math]’零值符号秩程序‘[/math]’。这一程序在对样本进行排名时包括零值。然而，它在测试统计量中排除了零值，或等同于定义 [math]\sgn(0) = 0[/math]。Pratt 证明，与减少样本程序不同，零值符号秩程序具有几种理想行为：<ref>Pratt, p. 659</ref>		因此，Pratt 提出了‘[math]’零值符号秩程序‘[/math]’。这一程序在对样本进行排名时包括零值。然而，它在测试统计量中排除了零值，或等同于定义 [math]\operatorname{sgn}(0) = 0[/math]。Pratt 证明，与减少样本程序不同，零值符号秩程序具有几种理想行为：<ref>Pratt, p. 659</ref>
	1. 增加观察值不会使显著正向的样本变得不显著，也不会使不显著的样本变得显著负向。		1. 增加观察值不会使显著正向的样本变得不显著，也不会使不显著的样本变得显著负向。
	2. 如果观察值的分布是对称的，那么测试不拒绝的 [math]\mu[/math] 值将形成一个区间。		2. 如果观察值的分布是对称的，那么测试不拒绝的 [math]\mu[/math] 值将形成一个区间。
第245行：		第245行：
	! colspan="2" \| [math]x_{2,i} - x_{1,i}[/math]		! colspan="2" \| [math]x_{2,i} - x_{1,i}[/math]
	\|-		\|-
	! [math]\sgn[/math]		! [math]\operatorname{sgn}[/math]
	! [math]\text{abs}[/math]		! [math]\text{abs}[/math]
	\|-		\|-
第317行：		第317行：
	! colspan="4" \| [math]x_{2,i} - x_{1,i}[/math]		! colspan="4" \| [math]x_{2,i} - x_{1,i}[/math]
	\|-		\|-
	! [math]\sgn[/math]		! [math]\operatorname{sgn}[/math]
	! [math]\text{abs}[/math]		! [math]\text{abs}[/math]
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	! [math]\sgn \cdot R_i[/math]		! [math]\operatorname{sgn} \cdot R_i[/math]
	\|-		\|-
	\| 5		\| 5
第404行：		第404行：
	\|}		\|}

	[math]\sgn[/math]是[[sign function\|符号函数]]，[math]\text{abs}[/math]是[[absolute value\|绝对值]]，[math]R_i[/math]是[[Ranking\|排名]]。注意，对3和9的绝对值是平等的。它们会被排名为1和2，因此每个都得到这些排名的平均值，1.5。		[math]\operatorname{sgn}[/math]是[[sign function\|符号函数]]，[math]\text{abs}[/math]是[[absolute value\|绝对值]]，[math]R_i[/math]是[[Ranking\|排名]]。注意，对3和9的绝对值是平等的。它们会被排名为1和2，因此每个都得到这些排名的平均值，1.5。

	:[math]W = 1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9 [/math]		:[math]W = 1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9 [/math]

2024年1月24日 (三) 01:47 RainW

2024-01-24T01:47:39Z

显示更改

2024年1月19日 (五) 11:02 Zeroclanzhang

2024-01-19T11:02:31Z

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第7行：		第7行：
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2024年1月18日 (四) 09:37 Zeroclanzhang

2024-01-18T09:37:40Z

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2023年12月8日 (五) 05:47 Zeroclanzhang

2023-12-08T05:47:35Z

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2023年12月8日 (五) 04:10 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 02:24 Zeroclanzhang

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2023年12月4日 (一) 14:41 Zeroclanzhang

2023-12-04T14:41:23Z

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2023年12月4日 (一) 14:01 Zeroclanzhang

2023-12-04T14:01:31Z

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			\|nodeshortdescription=<p>秩和检验是一种非参数检验。目的是推断两个总体分布的位置是否有差别。检验是通过将所有观察值（或每对观察值差的绝对值）按照从小到大的次序排列，每一观察值（或每对观察值差的绝对值）按照次序编号，称为秩（或秩次）。对两组观察值（配对设计下根据观察值差的正负分为两组）分别计算秩和进行检验。</p><p>秩和检验的条件需要样本互相独立,但样本总体不受分布限制，可以不满足正态分布。</p><p>用途：非参数的统计方法，用于比较两个独立样本的中位数。数据不满足正态分布或方差齐性假设。</p><p>参数：选择连续型数值因变量，和分组变量</p>
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			[[Category:非参数检验]]

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	1. 计算[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]。		1. 计算[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]。
	2. 排序[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]，并使用这个排序列表分配排名[math]R_1, \dots, R_n[/math]：最小观测值的排名为一，下一个最小的排名为二，依此类推。		2. 排序[math]\|X_1\|, \dots, \|X_n\|[/math]，并使用这个排序列表分配排名[math]R_1, \dots, R_n[/math]：最小观测值的排名为一，下一个最小的排名为二，依此类推。
	3. 让[math]\operatorname{sgn}[/math]表示[[符号函数]]：[math]\operatorname{sgn}(x) = 1[/math]如果[math]x > 0[/math]，[math]\operatorname{sgn}(x) = -1[/math]如果[math]x < 0[/math]。[[检验统计量]]是''符号秩和''[math]T[/math]：[math ~~display="block"~~]T = \sum_{i=1}^N \operatorname{sgn}(X_i)R_i.[/math]		3. 让[math]\operatorname{sgn}[/math]表示[[符号函数]]：[math]\operatorname{sgn}(x) = 1[/math]如果[math]x > 0[/math]，[math]\operatorname{sgn}(x) = -1[/math]如果[math]x < 0[/math]。[[检验统计量]]是''符号秩和''[math]T[/math]：[math]T = \sum_{i=1}^N \operatorname{sgn}(X_i)R_i.[/math]
	4. 通过将[math]T[/math]与其在零假设下的分布进行比较，产生一个[math]p[/math]值。		4. 通过将[math]T[/math]与其在零假设下的分布进行比较，产生一个[math]p[/math]值。

第48行：		第48行：

	符号秩和[math]T[/math]与其他两个检验统计量密切相关。''正秩和''[math]T^+[/math]和''负秩和''[math]T^-[/math]由以下定义：<ref>Pratt and Gibbons, p. 148</ref>		符号秩和[math]T[/math]与其他两个检验统计量密切相关。''正秩和''[math]T^+[/math]和''负秩和''[math]T^-[/math]由以下定义：<ref>Pratt and Gibbons, p. 148</ref>
	[math ~~display="block"~~]\begin{align}		[math]\begin{align}
	T^+ &= \sum_{1 \le i \le n,\ X_i > 0} R_i, \\		T^+ &= \sum_{1 \le i \le n,\ X_i > 0} R_i, \\
	T^- &= \sum_{1 \le i \le n,\ X_i < 0} R_i.		T^- &= \sum_{1 \le i \le n,\ X_i < 0} R_i.
	\end{align}[/math]		\end{align}[/math]
	由于[math]T^+ + T^-[/math]等于所有排名的和，即[math]1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2[/math]，这三个统计量之间的关系如下：<ref>Pratt and Gibbons, p. 148</ref>		由于[math]T^+ + T^-[/math]等于所有排名的和，即[math]1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2[/math]，这三个统计量之间的关系如下：<ref>Pratt and Gibbons, p. 148</ref>
	[math ~~display="block"~~]\begin{align}		[math]\begin{align}
	T^+ &= \frac{n(n + 1)}{2} - T^- = \frac{n(n + 1)}{4} + \frac{T}{2}, \\		T^+ &= \frac{n(n + 1)}{2} - T^- = \frac{n(n + 1)}{4} + \frac{T}{2}, \\
	T^- &= \frac{n(n + 1)}{2} - T^+ = \frac{n(n + 1)}{4} - \frac{T}{2}, \\		T^- &= \frac{n(n + 1)}{2} - T^+ = \frac{n(n + 1)}{4} - \frac{T}{2}, \\
第61行：		第61行：

	正秩和和负秩和有助于测试背后理论的其他解释。定义“沃尔什平均”[math]W_{ij}[/math]为[math]\tfrac12(X_i + X_j)[/math]。那么：<ref>Pratt and Gibbons, p. 150</ref>		正秩和和负秩和有助于测试背后理论的其他解释。定义“沃尔什平均”[math]W_{ij}[/math]为[math]\tfrac12(X_i + X_j)[/math]。那么：<ref>Pratt and Gibbons, p. 150</ref>
	[math ~~display="block"~~]\begin{align}		[math]\begin{align}
	T^+ = \#\{W_{ij} > 0 \colon 1 \le i \le j \le n\}, \\		T^+ = \#\{W_{ij} > 0 \colon 1 \le i \le j \le n\}, \\
	T^- = \#\{W_{ij} < 0 \colon 1 \le i \le j \le n\}.		T^- = \#\{W_{ij} < 0 \colon 1 \le i \le j \le n\}.
第72行：		第72行：

	为正式解释零假设和备选假设，假设数据由来自分布[math]F[/math]的[[独立同分布随机变量\|独立同分布]]样本组成。如果[math]X_1[/math]和[math]X_2[/math]是IID[math]F[/math]-分布的随机变量，定义[math]F^{(2)}[/math]为[math]\tfrac12(X_1 + X_2)[/math]的累积分布函数。设置		为正式解释零假设和备选假设，假设数据由来自分布[math]F[/math]的[[独立同分布随机变量\|独立同分布]]样本组成。如果[math]X_1[/math]和[math]X_2[/math]是IID[math]F[/math]-分布的随机变量，定义[math]F^{(2)}[/math]为[math]\tfrac12(X_1 + X_2)[/math]的累积分布函数。设置
	[math ~~display="block"~~]p_2 = \Pr(\tfrac12(X_1 + X_2) > 0) = 1 - F^{(2)}(0).[/math]		[math]p_2 = \Pr(\tfrac12(X_1 + X_2) > 0) = 1 - F^{(2)}(0).[/math]
	假设[math]F[/math]是连续的。单样本威尔科克森符号秩和检验是针对以下零假设对一下其中一个备选假设的检验：<ref>Pratt and Gibbons, p. 153</ref>		假设[math]F[/math]是连续的。单样本威尔科克森符号秩和检验是针对以下零假设对一下其中一个备选假设的检验：<ref>Pratt and Gibbons, p. 153</ref>
	; 零假设[math]H[/math]<sub>0</sub>：[math]p_2 = \tfrac12[/math]		; 零假设[math]H[/math]<sub>0</sub>：[math]p_2 = \tfrac12[/math]