单因素正态性检验 - 版本历史

2024年1月24日 (三) 02:11 RainW

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	在[[统计学]]中，'''正态性检验'''被用来确定一个[[数据集]]是否被[[正态分布]]很好地建模，并计算一个[[随机变量]]作为数据集的基础被正态分布的可能性。		在[[统计学]]中，'''正态性检验'''被用来确定一个[[数据集]]是否被[[正态分布]]很好地建模，并计算一个[[随机变量]]作为数据集的基础被正态分布的可能性。
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	正态性检验用于确定样本数据是否来自于一个正态分布的人群（在某种容忍度内）。许多统计检验，如学生的t检验和一元和双向方差分析，要求样本人群是正态分布的。		正态性检验用于确定样本数据是否来自于一个正态分布的人群（在某种容忍度内）。许多统计检验，如学生的t检验和一元和双向方差分析，要求样本人群是正态分布的。

	==图形方法==		=='''图形方法'''==
	测试正态性的非正式方法是将样本数据的[[直方图]]与正态概率曲线进行比较。数据的经验分布（即直方图）应呈钟形并类似于正态分布。如果样本较小，这可能难以看出。在这种情况下，可以通过将数据回归到具有与样本相同均值和方差的正态分布的[[分位数]]来进行处理。拟合回归线的不足暗示了偏离正态性（参见安德森达林系数和Minitab）。		测试正态性的非正式方法是将样本数据的[[直方图]]与正态概率曲线进行比较。数据的经验分布（即直方图）应呈钟形并类似于正态分布。如果样本较小，这可能难以看出。在这种情况下，可以通过将数据回归到具有与样本相同均值和方差的正态分布的[[分位数]]来进行处理。拟合回归线的不足暗示了偏离正态性（参见安德森达林系数和Minitab）。

	评估正态性的图形工具是[[正态概率图]]，即将标准化数据与[[标准正态分布]]进行的[[分位数-分位数图]]（QQ图）。这里样本数据与正态分位数（拟合优度的一种衡量）之间的[[皮尔逊积矩相关系数\|相关性]]衡量了数据被正态分布建模的程度。对于正态数据，QQ图中绘制的点应该大致落在一条直线上，表明有很高的正相关性。这些图形易于解释，并且具有轻松识别异常值的优点。		评估正态性的图形工具是[[正态概率图]]，即将标准化数据与[[标准正态分布]]进行的[[分位数-分位数图]]（QQ图）。这里样本数据与正态分位数（拟合优度的一种衡量）之间的[[皮尔逊积矩相关系数\|相关性]]衡量了数据被正态分布建模的程度。对于正态数据，QQ图中绘制的点应该大致落在一条直线上，表明有很高的正相关性。这些图形易于解释，并且具有轻松识别异常值的优点。

	==简易测试==		=='''简易测试'''==
	{{锚点\|简易测试}}		{{锚点\|简易测试}}
	简单的[[信封背面]]测试取样本的[[最大值和最小值]]并计算它们的[[z得分]]，或更准确地说[[t统计量]]		简单的[[信封背面]]测试取样本的[[最大值和最小值]]并计算它们的[[z得分]]，或更准确地说[[t统计量]]
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	这个测试在面临[[峰度风险]]的情况下非常有用 - 即大的偏差很重要 - 并且具有非常易于计算和交流的优点：非统计学家可以轻易理解“在正态分布中6[math]σ[/math]事件非常罕见”。		这个测试在面临[[峰度风险]]的情况下非常有用 - 即大的偏差很重要 - 并且具有非常易于计算和交流的优点：非统计学家可以轻易理解“在正态分布中6[math]σ[/math]事件非常罕见”。

	~~###~~ 常用检验		=== 常用检验 ===
	单变量正态性检验包括以下内容：		单变量正态性检验包括以下内容：
	* [[D'Agostino的K平方检验]]，		* [[D'Agostino的K平方检验]]，
第72行：		第71行：
	正态分布在给定标准偏差的情况下具有[[微分熵\|最高的熵]]。有许多基于这一特性的正态性检验，最早的可以追溯到Vasicek。<ref>{{cite journal \|first=Oldrich \|last=Vasicek \|title=基于样本熵的正态性检验 \|journal=英国皇家统计学会杂志 \|series=系列B（方法论）\|volume=38 \|issue=1 \|year=1976 \|pages=54–59 \|jstor=2984828 }}</ref>		正态分布在给定标准偏差的情况下具有[[微分熵\|最高的熵]]。有许多基于这一特性的正态性检验，最早的可以追溯到Vasicek。<ref>{{cite journal \|first=Oldrich \|last=Vasicek \|title=基于样本熵的正态性检验 \|journal=英国皇家统计学会杂志 \|series=系列B（方法论）\|volume=38 \|issue=1 \|year=1976 \|pages=54–59 \|jstor=2984828 }}</ref>

			=== 贝叶斯检验 ===
	~~###~~ 贝叶斯检验
	当考虑整个后验分布的[[Kullback–Leibler散度]]，用于斜率和方差时，并不能指示出非正态性。然而，这些后验的期望值比率和比率的期望值给出的结果与Shapiro–Wilk统计量相似，除了在使用非信息先验时对非常小的样本。<ref>Young K. D. S. (1993), "贝叶斯诊断用于检验正态性假设。" [math]统计计算与模拟杂志[/math], 47 (3–4), 167–180</ref>		当考虑整个后验分布的[[Kullback–Leibler散度]]，用于斜率和方差时，并不能指示出非正态性。然而，这些后验的期望值比率和比率的期望值给出的结果与Shapiro–Wilk统计量相似，除了在使用非信息先验时对非常小的样本。<ref>Young K. D. S. (1993), "贝叶斯诊断用于检验正态性假设。" [math]统计计算与模拟杂志[/math], 47 (3–4), 167–180</ref>

	Spiegelhalter建议使用[[贝叶斯因子]]来比较正态性与其他类型的分布替代方案。<ref>Spiegelhalter, D.J. (1980). 小样本的正态性全面测试。Biometrika, 67, 493–496. {{doi\|10.1093/biomet/67.2.493}}</ref> 这种方法后来被Farrell和Rogers-Stewart进一步扩展。<ref>Farrell, P.J., Rogers-Stewart, K. (2006) "全面研究正态性和对称性测试：扩展Spiegelhalter测试。" [math]统计计算与模拟杂志[/math], 76(9), 803–816. {{doi\|10.1080/10629360500109023}}</ref>		Spiegelhalter建议使用[[贝叶斯因子]]来比较正态性与其他类型的分布替代方案。<ref>Spiegelhalter, D.J. (1980). 小样本的正态性全面测试。Biometrika, 67, 493–496. {{doi\|10.1093/biomet/67.2.493}}</ref> 这种方法后来被Farrell和Rogers-Stewart进一步扩展。<ref>Farrell, P.J., Rogers-Stewart, K. (2006) "全面研究正态性和对称性测试：扩展Spiegelhalter测试。" [math]统计计算与模拟杂志[/math], 76(9), 803–816. {{doi\|10.1080/10629360500109023}}</ref>

	~~###~~ 应用		=== 应用 ===
	正态性检验的一个应用是对[[线性回归]]模型中的[[统计误差和残差]]。<ref>{{cite book \|last1=Portney, L.G. & Watkins, M.P. \|title=临床研究基础：实践应用 \|date=2000 \|publisher=Prentice Hall Health \|location=New Jersey \|isbn=0838526950 \|pages=516–517}}</ref> 如果残差不是正态分布的，那么不应该在Z检验或任何其他基于正态分布的检验中使用残差，例如[[t检验]]、[[F检验]]和[[卡方检验]]。如果残差不是正态分布的，那么因变量或至少一个[[解释变量]]可能具有错误的函数形式，或者可能缺少重要变量等。纠正一个或多个这样的[[系统误差]]可能会产生正态分布的残差；换句话说，残差的非正态性通常是模型缺陷而非数据问题。<ref>{{Cite journal \|last1=Pek \|first1=Jolynn \|last2=Wong \|first2=Octavia \|last3=Wong \|first3=Augustine C. M. \|date=2018-11-06 \|title=如何解决非正态性：方法分类、回顾和示例 \|journal=心理学前沿 \|volume=9 \|pages=2104 \|doi=10.3389/fpsyg.2018.02104 \|pmid=30459683 \|pmc=6232275 \|issn=1664-1078\|doi-access=free }}</ref>		正态性检验的一个应用是对[[线性回归]]模型中的[[统计误差和残差]]。<ref>{{cite book \|last1=Portney, L.G. & Watkins, M.P. \|title=临床研究基础：实践应用 \|date=2000 \|publisher=Prentice Hall Health \|location=New Jersey \|isbn=0838526950 \|pages=516–517}}</ref> 如果残差不是正态分布的，那么不应该在Z检验或任何其他基于正态分布的检验中使用残差，例如[[t检验]]、[[F检验]]和[[卡方检验]]。如果残差不是正态分布的，那么因变量或至少一个[[解释变量]]可能具有错误的函数形式，或者可能缺少重要变量等。纠正一个或多个这样的[[系统误差]]可能会产生正态分布的残差；换句话说，残差的非正态性通常是模型缺陷而非数据问题。<ref>{{Cite journal \|last1=Pek \|first1=Jolynn \|last2=Wong \|first2=Octavia \|last3=Wong \|first3=Augustine C. M. \|date=2018-11-06 \|title=如何解决非正态性：方法分类、回顾和示例 \|journal=心理学前沿 \|volume=9 \|pages=2104 \|doi=10.3389/fpsyg.2018.02104 \|pmid=30459683 \|pmc=6232275 \|issn=1664-1078\|doi-access=free }}</ref>


	== '''节点使用的R语言示例代码''' ==		== '''节点使用的R语言示例代码''' ==

2024年1月21日 (日) 08:54 RainW

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	== 引用 ==		== '''引用''' ==
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2024年1月21日 (日) 07:40 RainW

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			在[[统计学]]中，'''正态性检验'''被用来确定一个[[数据集]]是否被[[正态分布]]很好地建模，并计算一个[[随机变量]]作为数据集的基础被正态分布的可能性。

			更精确地说，这些检验是一种[[模型选择]]的形式，可以根据一个人的[[概率解释]]以几种方式解释：
			* 在[[描述性统计]]术语中，人们测量一个正态模型对数据的[[拟合优度]] - 如果拟合效果不佳，则数据在这方面不被正态分布很好地建模，而不对任何潜在变量做出判断。
			* 在[[频率统计学]]的[[统计假设检验]]中，数据被测试是否符合它正态分布的[[零假设]]。
			* 在[[贝叶斯统计学]]中，人们不会直接"测试正态性"，而是计算数据来源于具有给定参数[math]μ[/math],[math]σ[/math]（对所有[math]μ[/math],[math]σ[/math]）的正态分布的可能性，并将其与数据来自其他正在考虑的分布的可能性进行比较，最简单的方法是使用[[贝叶斯因子]]（给出了在不同模型下看到数据的相对可能性），或者更细致地对可能的模型和参数采取[[先验分布]]，并计算给定计算出的可能性的[[后验分布]]。

			正态性检验用于确定样本数据是否来自于一个正态分布的人群（在某种容忍度内）。许多统计检验，如学生的t检验和一元和双向方差分析，要求样本人群是正态分布的。

			==图形方法==
			测试正态性的非正式方法是将样本数据的[[直方图]]与正态概率曲线进行比较。数据的经验分布（即直方图）应呈钟形并类似于正态分布。如果样本较小，这可能难以看出。在这种情况下，可以通过将数据回归到具有与样本相同均值和方差的正态分布的[[分位数]]来进行处理。拟合回归线的不足暗示了偏离正态性（参见安德森达林系数和Minitab）。

			评估正态性的图形工具是[[正态概率图]]，即将标准化数据与[[标准正态分布]]进行的[[分位数-分位数图]]（QQ图）。这里样本数据与正态分位数（拟合优度的一种衡量）之间的[[皮尔逊积矩相关系数\|相关性]]衡量了数据被正态分布建模的程度。对于正态数据，QQ图中绘制的点应该大致落在一条直线上，表明有很高的正相关性。这些图形易于解释，并且具有轻松识别异常值的优点。

			==简易测试==
			{{锚点\|简易测试}}
			简单的[[信封背面]]测试取样本的[[最大值和最小值]]并计算它们的[[z得分]]，或更准确地说[[t统计量]]
			（样本高于或低于样本均值的样本标准差数），并将其与[[68-95-99.7规则]]进行比较：
			如果有一个3[math]σ[/math]事件（准确地说，是一个3[math]s[/math]事件）且样本明显少于300个，或者一个4[math]s[/math]事件且样本明显少于15,000个，则正态分布会低估样本数据中偏差的最大幅度。

			这个测试在面临[[峰度风险]]的情况下非常有用 - 即大的偏差很重要 - 并且具有非常易于计算和交流的优点：非统计学家可以轻易理解“在正态分布中6[math]σ[/math]事件非常罕见”。

			### 常用检验
			单变量正态性检验包括以下内容：
			* [[D'Agostino的K平方检验]]，
			* [[Jarque–Bera检验]]，
			* [[Anderson–Darling检验]]，
			* [[Cramér–von Mises准则]]，
			* [[Kolmogorov–Smirnov检验]]（仅在零假设下假定正态分布的均值和方差已知时有效），
			* [[Lilliefors检验]]（基于Kolmogorov–Smirnov检验，调整用于估计数据的均值和方差），
			* [[Shapiro–Wilk检验]]，以及
			* [[皮尔逊卡方检验]]。

			一项2011年的研究得出结论，Shapiro–Wilk检验在给定的显著性水平下具有最佳的[math]检验效能[/math]，紧随其后的是Anderson–Darling检验，当比较Shapiro–Wilk、Kolmogorov–Smirnov、Lilliefors和Anderson–Darling检验时。<ref>{{cite journal \|last1=Razali \|first1=Nornadiah \|last2=Wah \|first2=Yap Bee \|title=Shapiro–Wilk、Kolmogorov–Smirnov、Lilliefors和Anderson–Darling检验的效能比较 \|journal=统计建模和分析杂志 \|year=2011 \|volume=2 \|issue=1 \|pages=21–33 \|url= <!--\|accessdate=5 June 2012--> \|archiveurl= \|archivedate=2015-06-30 }}</ref>

			一些已发表的作品推荐Jarque–Bera检验，<ref>{{cite book \|last1=Judge \|first1=George G. \|last2=Griffiths \|first2=W. E. \|last3=Hill \|first3=R. Carter \|last4=Lütkepohl \|first4=Helmut \|authorlink4=Helmut Lütkepohl \|last5=Lee \|first5=T. \|year=1988 \|title=计量经济学理论与实践导论 \|edition=第二版 \|pages=890–892 \|publisher=Wiley \|isbn=978-0-471-08277-4 \|url=https://books.google.com/books?id=Iyy7AAAAIAAJ&pg=PA890 }}</ref><ref>{{cite book \|last=Gujarati \|first=Damodar N. \|year=2002 \|title=基础计量经济学 \|edition=第四版 \|pages=147–148 \|publisher=McGraw Hill \|isbn=978-0-07-123017-9 }}</ref>，但这个检验有缺点。特别是，对于尾部较短的分布，尤其是对于双峰分布，该检验的效能较低。<ref>{{cite journal\|last=Thadewald\|first=Thorsten\|author2=Büning, Herbert\|title=Jarque–Bera检验及其竞争者用于检验正态性的效能比较\|journal=应用统计杂志\|date=2007年1月1日\|volume=34\|issue=1\|pages=87–105 \|doi=10.1080/02664760600994539 \|citeseerx=10.1.1.507.1186\|s2cid=13866566 }}</ref> 一些作者由于其整体表现不佳，选择不在他们的研究中包含其结果。<ref>{{cite journal \|last=Sürücü \|first=Barış \|title=拟合优度测试的效能比较和模拟研究 \|journal=计算机与数学应用 \|date=2008年9月1日 \|volume=56 \|issue=6 \|pages=1617–1625 \|doi=10.1016/j.camwa.2008.03.010 \|doi-access=free }}</ref>

			从历史角度来看，第三和第四个[[标准化矩]]（[[偏度]]和[[峰度]]）是最早用于检验正态性的测试之一。[[Lin–Mudholkar检验]]专门针对不对称的替代方案。<ref>{{cite journal\|last=Lin\|first=C. C.\|author2=Mudholkar, G. S. \|title=一种针对不对称替代方案的简单正态性检验\|journal=Biometrika \|year=1980 \|volume=67 \|issue=2 \|pages=455–461 \|doi=10.1093/biomet/67.2.455}}</ref> [[Jarque–Bera检验]]本身就是基于[[偏度]]和[[峰度]]估计而得出的。[[Mardia的检验\|Mardia的多变量偏度和峰度检验]]将时刻检验推广到多变量情况。<ref>Mardia, K. V. (1970)。多变量偏度和峰度的测量及其应用。[math]Biometrika[/math] 57, 519–530。</ref> 其他早期的[[测试统计量]]包括[[平均绝对偏差]]与标准偏差之比以及极差与标准偏差之比。<ref>{{cite journal \|last=Filliben \|first=J. J. \|date=1975年2月 \|title=用于正态性的概率图相关系数测试 \|journal=Technometrics \|pages=111–117 \|doi=10.2307/1268008 \|volume=17 \|issue=1 \|jstor=1268008 }}</ref>

			更近期的正态性检验包括能量检验<ref>Székely, G. J. 和 Rizzo, M. L. (2005) 一种新的多变量正态性检验，多变量分析杂志 93, 58–80。</ref>（Székely和Rizzo）以及基于[[经验特征函数]]（ECF）的检验（例如 Epps和Pulley,<ref>Epps, T. W. 和 Pulley, L. B. (1983)。基于经验特征函数的正态性检验。[math]Biometrika[/math] 70, 723–726。</ref> Henze–Zirkler,<ref>Henze, N. 和 Zirkler, B. (1990)。用于多变量正态性的一类不变和一致的检验。统计学 - 理论与方法通讯 19, 3595–3617。</ref> [[BHEP检验]]<ref>Henze, N. 和 Wagner, T. (1997)。BHEP多变量正态性检验的新方法。多变量分析杂志 62, 1–23。</ref>）。能量检验和ECF检验是强大的检验，适用于单变量或[[多变量正态分布\|多变量正态性]]的检验，并且在统计上对一般替代方案具有一致性。

			正态分布在给定标准偏差的情况下具有[[微分熵\|最高的熵]]。有许多基于这一特性的正态性检验，最早的可以追溯到Vasicek。<ref>{{cite journal \|first=Oldrich \|last=Vasicek \|title=基于样本熵的正态性检验 \|journal=英国皇家统计学会杂志 \|series=系列B（方法论）\|volume=38 \|issue=1 \|year=1976 \|pages=54–59 \|jstor=2984828 }}</ref>


			### 贝叶斯检验
			当考虑整个后验分布的[[Kullback–Leibler散度]]，用于斜率和方差时，并不能指示出非正态性。然而，这些后验的期望值比率和比率的期望值给出的结果与Shapiro–Wilk统计量相似，除了在使用非信息先验时对非常小的样本。<ref>Young K. D. S. (1993), "贝叶斯诊断用于检验正态性假设。" [math]统计计算与模拟杂志[/math], 47 (3–4), 167–180</ref>

			Spiegelhalter建议使用[[贝叶斯因子]]来比较正态性与其他类型的分布替代方案。<ref>Spiegelhalter, D.J. (1980). 小样本的正态性全面测试。Biometrika, 67, 493–496. {{doi\|10.1093/biomet/67.2.493}}</ref> 这种方法后来被Farrell和Rogers-Stewart进一步扩展。<ref>Farrell, P.J., Rogers-Stewart, K. (2006) "全面研究正态性和对称性测试：扩展Spiegelhalter测试。" [math]统计计算与模拟杂志[/math], 76(9), 803–816. {{doi\|10.1080/10629360500109023}}</ref>

			### 应用
			正态性检验的一个应用是对[[线性回归]]模型中的[[统计误差和残差]]。<ref>{{cite book \|last1=Portney, L.G. & Watkins, M.P. \|title=临床研究基础：实践应用 \|date=2000 \|publisher=Prentice Hall Health \|location=New Jersey \|isbn=0838526950 \|pages=516–517}}</ref> 如果残差不是正态分布的，那么不应该在Z检验或任何其他基于正态分布的检验中使用残差，例如[[t检验]]、[[F检验]]和[[卡方检验]]。如果残差不是正态分布的，那么因变量或至少一个[[解释变量]]可能具有错误的函数形式，或者可能缺少重要变量等。纠正一个或多个这样的[[系统误差]]可能会产生正态分布的残差；换句话说，残差的非正态性通常是模型缺陷而非数据问题。<ref>{{Cite journal \|last1=Pek \|first1=Jolynn \|last2=Wong \|first2=Octavia \|last3=Wong \|first3=Augustine C. M. \|date=2018-11-06 \|title=如何解决非正态性：方法分类、回顾和示例 \|journal=心理学前沿 \|volume=9 \|pages=2104 \|doi=10.3389/fpsyg.2018.02104 \|pmid=30459683 \|pmc=6232275 \|issn=1664-1078\|doi-access=free }}</ref>


			== '''节点使用的R语言示例代码''' ==
			=== 单因素正态性检验 ===
			<syntaxhighlight lang="R">
			ks.test(x, y, ...,
			alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
			exact = NULL, simulate.p.value = FALSE, B = 2000)

			lillie.test(x)

			</syntaxhighlight>
			方法参见'''R package: nortest'''的官方文档


			== '''节点使用指南''' ==
			* 检测每个变量是否可能来自正态分布

			=== 方法选择 ===
			* Kolmogorov–Smirnov：比较样本的经验分布函数（EDF）与理论分布函数（CDF）之间的最大差异。可以用于任何连续分布。
			* Anderson–Darling：类似于K-S检验，但是加权了与分布两端的距离，给尾部更多权重。对样本量较小的数据集可能过于敏感。适用于对尾部偏离敏感的场景。
			* Lilliefor：是K-S检验的变体，适用于当正态分布的参数（均值和方差）从数据中估算时使用。主要用于检验正态分布，不适用于其他分布。
			* Shapiro-Wilk：在小样本数据上（n < 50）通常比其他检验更有统计功效。当样本量较大时，其对于偏离正态的敏感性可能会降低。

			=== 参数配置 ===
			* 检验变量：选择一个或多个连续型数值变量，每一个变量做一次正态检验
			* 正态检验方法: Kolmogorov–Smirnov，Anderson–Darling，Lilliefor，Shapiro-Wilk
			* 筛选阈值：选择需要的P值阈值，节点会自动将满足阈值的变量筛选出，数据集也会同步筛选出满足的变量。
			* 此算法兼容空值

			=== 注意事项 ===
			* 正态性检验是许多参数统计方法的前提假设，比如单样本t检验、ANOVA、回归分析等


			== 引用 ==
			{{Reflist}}

2024年1月19日 (五) 11:01 Zeroclanzhang

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2024年1月18日 (四) 09:37 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 05:47 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 04:09 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 02:23 Zeroclanzhang

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2023年12月4日 (一) 14:41 Zeroclanzhang

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2023年12月4日 (一) 14:00 Zeroclanzhang

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			\|nodeshortdescription=<p>单因素正态性检验用于检查某观测值是否符合正态分布。此检验使用的方法有:Kolmogorov-Smirnov检验, Anderson-Darling检验,Lilliefors检验, 和Shapiro-Wilk检验。对于样本量大于200可以采用 Anderson-Darling检验。对于样本量小于5000的样本可以采用Shapiro-Wilk检验。</p><p>用途：用于检验一个变量是否服从正态分布。</p><p>参数：选择连续型数值变量</p>
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			[[Category:正态性检验]]