两独立样本T检验 - 版本历史

2024年1月22日 (一) 13:21 Zeroclanzhang

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	然后 [math]Z:=(Q^T)_{n\times m}X/\sqrt{m}-(P^T)_{n\times n}Y/\sqrt{n}[/math] 是一个 n 维正态随机向量。		然后 [math]Z:=(Q^T)_{n\times m}X/\sqrt{m}-(P^T)_{n\times n}Y/\sqrt{n}[/math] 是一个 n 维正态随机向量。

	:[math]Z \sim N(		:[math]Z \sim N((\mu_1-\mu_2,0,...,0)^T , (\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n)I_n).[/math]
	(\mu_1-\mu_2,0,...,0)^T
	, (\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n)I_n). [/math]

	从上述分布中我们可以看到		从上述分布中我们可以看到

2024年1月22日 (一) 13:18 Zeroclanzhang

2024-01-22T13:18:48Z

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第35行：		第35行：
	“''t''统计量”这一术语是从“假设检验统计量”缩写而来。<ref>{{Cite book \|url=https://books.google.com/books?id=kiToDwAAQBAJ&pg=PA397 \|title=The Microbiome in Health and Disease \|date=2020-05-29 \|publisher=Academic Press \|isbn=978-0-12-820001-8 \|pages=397 }}</ref> 在统计学中，''t''分布最初由[[弗里德里希·罗伯特·赫尔默特\|赫尔默特]]<ref>{{cite book \|last=Szabó \|first=István \|chapter=Systeme aus einer endlichen Anzahl starrer Körper \|date=2003 \|title=Einführung in die Technische Mechanik \|language=de \|pages=196–199 \|publisher=Springer Berlin Heidelberg \|doi=10.1007/978-3-642-61925-0_16 \|isbn=978-3-540-13293-6}}</ref><ref>{{Cite journal \|last=Schlyvitch \|first=B. \|date=October 1937 \|title=Untersuchungen über den anastomotischen Kanal zwischen der Arteria coeliaca und mesenterica superior und damit in Zusammenhang stehende Fragen \|language=de \|journal=Zeitschrift für Anatomie und Entwicklungsgeschichte \|volume=107 \|issue=6 \|pages=709–737 \|doi=10.1007/bf02118337 \|s2cid=27311567 \|issn=0340-2061}}</ref><ref>{{Cite journal \|last=Helmert \|date=1876 \|title=Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit \|journal=Astronomische Nachrichten \|language=de \|volume=88 \|issue=8–9 \|pages=113–131 \|doi=10.1002/asna.18760880802 \|bibcode=1876AN.....88..113H \|url=https://zenodo.org/record/1424695}}</ref>和[[雅各布·吕罗特\|吕罗特]]<ref>{{Cite journal \|last=Lüroth \|first=J. \|date=1876 \|title=Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers\|journal=Astronomische Nachrichten \|language=de \|volume=87 \|issue=14 \|pages=209–220 \|doi=10.1002/asna.18760871402 \|bibcode=1876AN.....87..209L \|url=https://zenodo.org/record/1424693}}</ref><ref>{{cite journal \|doi=10.1093/biomet/83.4.891 \|mr=1766040 \|title=Studies in the history of probability and statistics XLIV. A forerunner of the ''t''-distribution \|year=1996 \|last1=Pfanzagl \|first1=J. \|journal=Biometrika \|volume=83 \|issue=4 \|pages=891–898 }}</ref><ref>{{Cite journal \|last=Sheynin \|first=Oscar \|s2cid=121241599 \|date=1995 \|title=Helmert's work in the theory of errors \|journal=Archive for History of Exact Sciences \|volume=49 \|issue=1 \|pages=73–104 \|doi=10.1007/BF00374700 \|issn=0003-9519}}</ref>于1876年首次将其作为[[后验概率\|后验分布]]推导出来。''t''分布也在[[卡尔·皮尔逊]]1895年的论文中以更一般的形式作为皮尔逊类型 [[皮尔逊分布\|IV]]分布出现。<ref>{{cite journal \| doi=10.1098/rsta.1895.0010 \| title=X. Contributions to the mathematical theory of evolution.—II. Skew variation in homogeneous material \| journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London A \| year=1895 \| volume=186 \| pages=343–414 \| bibcode=1895RSPTA.186..343P \| last1=Pearson \| first1=Karl \| doi-access=free }}</ref> 然而，''t''分布，也被称为[[学生t分布\|学生''t''分布]]，是因[[威廉·西利·戈塞特]]而得名，他于1908年首次用英文在科学期刊[[Biometrika]]上发表了该论文，使用了假名“学生”<ref name="The Probable Error of a Mean"/><ref>{{Cite web \|url=https://www.tdistributiontable.com \|title=T Table}}</ref>，因为他的雇主更喜欢员工在发表科学论文时使用[[笔名]]。<ref>{{cite journal \| doi=10.1126/science.351.6280.1406 \| title=Pseudonymous fame \| year=2016 \| last1=Wendl \| first1=Michael C. \| journal=Science \| volume=351 \| issue=6280 \| page=1406 \| pmid=27013722 }}</ref> 戈塞特在[[都柏林]]的[[健力士啤酒厂]]工作，对小样本问题感兴趣{{snd}}例如，小样本大小的大麦化学性质。因此，术语Student的第二个词源版本是健力士不希望竞争对手知道他们正在使用''t''检验来确定原材料的质量。尽管是威廉·戈塞特命名的“学生”这一术语，但实际上是通过[[罗纳德·费舍尔]]的工作，该分布被广为人知，称为“学生分布”<ref>{{Cite book \|last=Walpole, Ronald E. \|title=Probability & statistics for engineers & scientists \|date=200 \|publisher=Pearson \|others=Myers, H. Raymond \|isbn=81-7758-404-9 \|edition= 7th \|location=New Delhi \|oclc=818811849}}</ref>和“学生''t''检验”。		“''t''统计量”这一术语是从“假设检验统计量”缩写而来。<ref>{{Cite book \|url=https://books.google.com/books?id=kiToDwAAQBAJ&pg=PA397 \|title=The Microbiome in Health and Disease \|date=2020-05-29 \|publisher=Academic Press \|isbn=978-0-12-820001-8 \|pages=397 }}</ref> 在统计学中，''t''分布最初由[[弗里德里希·罗伯特·赫尔默特\|赫尔默特]]<ref>{{cite book \|last=Szabó \|first=István \|chapter=Systeme aus einer endlichen Anzahl starrer Körper \|date=2003 \|title=Einführung in die Technische Mechanik \|language=de \|pages=196–199 \|publisher=Springer Berlin Heidelberg \|doi=10.1007/978-3-642-61925-0_16 \|isbn=978-3-540-13293-6}}</ref><ref>{{Cite journal \|last=Schlyvitch \|first=B. \|date=October 1937 \|title=Untersuchungen über den anastomotischen Kanal zwischen der Arteria coeliaca und mesenterica superior und damit in Zusammenhang stehende Fragen \|language=de \|journal=Zeitschrift für Anatomie und Entwicklungsgeschichte \|volume=107 \|issue=6 \|pages=709–737 \|doi=10.1007/bf02118337 \|s2cid=27311567 \|issn=0340-2061}}</ref><ref>{{Cite journal \|last=Helmert \|date=1876 \|title=Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit \|journal=Astronomische Nachrichten \|language=de \|volume=88 \|issue=8–9 \|pages=113–131 \|doi=10.1002/asna.18760880802 \|bibcode=1876AN.....88..113H \|url=https://zenodo.org/record/1424695}}</ref>和[[雅各布·吕罗特\|吕罗特]]<ref>{{Cite journal \|last=Lüroth \|first=J. \|date=1876 \|title=Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers\|journal=Astronomische Nachrichten \|language=de \|volume=87 \|issue=14 \|pages=209–220 \|doi=10.1002/asna.18760871402 \|bibcode=1876AN.....87..209L \|url=https://zenodo.org/record/1424693}}</ref><ref>{{cite journal \|doi=10.1093/biomet/83.4.891 \|mr=1766040 \|title=Studies in the history of probability and statistics XLIV. A forerunner of the ''t''-distribution \|year=1996 \|last1=Pfanzagl \|first1=J. \|journal=Biometrika \|volume=83 \|issue=4 \|pages=891–898 }}</ref><ref>{{Cite journal \|last=Sheynin \|first=Oscar \|s2cid=121241599 \|date=1995 \|title=Helmert's work in the theory of errors \|journal=Archive for History of Exact Sciences \|volume=49 \|issue=1 \|pages=73–104 \|doi=10.1007/BF00374700 \|issn=0003-9519}}</ref>于1876年首次将其作为[[后验概率\|后验分布]]推导出来。''t''分布也在[[卡尔·皮尔逊]]1895年的论文中以更一般的形式作为皮尔逊类型 [[皮尔逊分布\|IV]]分布出现。<ref>{{cite journal \| doi=10.1098/rsta.1895.0010 \| title=X. Contributions to the mathematical theory of evolution.—II. Skew variation in homogeneous material \| journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London A \| year=1895 \| volume=186 \| pages=343–414 \| bibcode=1895RSPTA.186..343P \| last1=Pearson \| first1=Karl \| doi-access=free }}</ref> 然而，''t''分布，也被称为[[学生t分布\|学生''t''分布]]，是因[[威廉·西利·戈塞特]]而得名，他于1908年首次用英文在科学期刊[[Biometrika]]上发表了该论文，使用了假名“学生”<ref name="The Probable Error of a Mean"/><ref>{{Cite web \|url=https://www.tdistributiontable.com \|title=T Table}}</ref>，因为他的雇主更喜欢员工在发表科学论文时使用[[笔名]]。<ref>{{cite journal \| doi=10.1126/science.351.6280.1406 \| title=Pseudonymous fame \| year=2016 \| last1=Wendl \| first1=Michael C. \| journal=Science \| volume=351 \| issue=6280 \| page=1406 \| pmid=27013722 }}</ref> 戈塞特在[[都柏林]]的[[健力士啤酒厂]]工作，对小样本问题感兴趣{{snd}}例如，小样本大小的大麦化学性质。因此，术语Student的第二个词源版本是健力士不希望竞争对手知道他们正在使用''t''检验来确定原材料的质量。尽管是威廉·戈塞特命名的“学生”这一术语，但实际上是通过[[罗纳德·费舍尔]]的工作，该分布被广为人知，称为“学生分布”<ref>{{Cite book \|last=Walpole, Ronald E. \|title=Probability & statistics for engineers & scientists \|date=200 \|publisher=Pearson \|others=Myers, H. Raymond \|isbn=81-7758-404-9 \|edition= 7th \|location=New Delhi \|oclc=818811849}}</ref>和“学生''t''检验”。

	戈塞特设计了''t''检验作为一种经济有效的方法来监控[[烈性啤酒]]的质量。''t''检验的工作被提交并被''[[Biometrika]]''期刊接受，并于1908年发表。<ref name="The Probable Error of a Mean">{{cite journal \|author=Student \|title=The Probable Error of a Mean \|journal=[[Biometrika]] \|date=1908 \|volume=6 \|issue=1 \|pages=1–25 \|url=http://seismo.berkeley.edu/~kirchner/eps_120/Odds_n_ends/Students_original_paper.pdf \|access-date=24 July 2016 \|doi=10.1093/biomet/6.1.1 \|hdl=10338.dmlcz/143545}}</		戈塞特设计了''t''检验作为一种经济有效的方法来监控[[烈性啤酒]]的质量。''t''检验的工作被提交并被''[[Biometrika]]''期刊接受，并于1908年发表。<ref name="The Probable Error of a Mean">{{cite journal \|author=Student \|title=The Probable Error of a Mean \|journal=[[Biometrika]] \|date=1908 \|volume=6 \|issue=1 \|pages=1–25 \|url=http://seismo.berkeley.edu/~kirchner/eps_120/Odds_n_ends/Students_original_paper.pdf \|access-date=24 July 2016 \|doi=10.1093/biomet/6.1.1 \|hdl=10338.dmlcz/143545}}</ref>

	Gosset发明了''t''检验作为一种经济方式来监控[[stout]]的质量。这项''t''检验工作被提交并被接受在杂志''[[Biometrika]]''上，并于1908年发表。<ref name="The Probable Error of a Mean">{{cite journal \|author=Student \|title=The Probable Error of a Mean \|journal=[[Biometrika]] \|date=1908 \|volume=6 \|issue=1 \|pages=1–25 \|url=http://seismo.berkeley.edu/~kirchner/eps_120/Odds_n_ends/Students_original_paper.pdf \|access-date=24 July 2016 \|doi=10.1093/biomet/6.1.1 \|hdl=10338.dmlcz/143545}}</ref>		Gosset发明了''t''检验作为一种经济方式来监控[[stout]]的质量。这项''t''检验工作被提交并被接受在杂志''[[Biometrika]]''上，并于1908年发表。<ref name="The Probable Error of a Mean">{{cite journal \|author=Student \|title=The Probable Error of a Mean \|journal=[[Biometrika]] \|date=1908 \|volume=6 \|issue=1 \|pages=1–25 \|url=http://seismo.berkeley.edu/~kirchner/eps_120/Odds_n_ends/Students_original_paper.pdf \|access-date=24 July 2016 \|doi=10.1093/biomet/6.1.1 \|hdl=10338.dmlcz/143545}}</ref>
第122行：		第122行：
	设		设

	: [math]		: [math]\begin{align} \hat\alpha, \hat\beta &= \text{最小二乘估计量}, \\ SE_{\hat\alpha}, SE_{\hat\beta} &= \text{最小二乘估计量的标准误差}. \end{align}[/math]
	\begin{align}
	\hat\alpha, \hat\beta &= \text{最小二乘估计量}, \\
	SE_{\hat\alpha}, SE_{\hat\beta} &= \text{最小二乘估计量的标准误差}.
	\end{align}
	[/math]

	那么		那么

	: [math]		: [math]t_\text{score} = \frac{\hat\beta - β_0}{ SE_{\hat\beta} } \sim \mathcal{T}_{n-2}[/math]
	t_\text{score} = \frac{\hat\beta - β_0}{ SE_{\hat\beta} } \sim \mathcal{T}_{n-2}
	[/math]

	在零假设为真时，具有[math]n - 2[/math]自由度的[math]t[/math]-分布。[[Simple linear regression#Normality assumption\|斜率系数的标准误差]]：		在零假设为真时，具有[math]n - 2[/math]自由度的[math]t[/math]-分布。[[Simple linear regression#Normality assumption\|斜率系数的标准误差]]：

	: [math]		: [math]SE_{\hat\beta} = \frac{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n - 2}\sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2}}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}}[/math]
	SE_{\hat\beta} = \frac{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n - 2}\sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2}}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}}
	[/math]

	可以用残差来表示。设		可以用残差来表示。设

	: [math]		: [math]\begin{align} \hat\varepsilon_i &= y_i - \hat y_i = y_i - (\hat\alpha + \hat\beta x_i) = \text{残差} = \text{估计误差}, \\ \text{SSR} &= \sum_{i=1}^n {\hat\varepsilon_i}^2 = \text{残差平方和}. \end{align}[/math]
	\begin{align}
	\hat\varepsilon_i &= y_i - \hat y_i = y_i - (\hat\alpha + \hat\beta x_i) = \text{残差} = \text{估计误差}, \\
	\text{SSR} &= \sum_{i=1}^n {\hat\varepsilon_i}^2 = \text{残差平方和}.
	\end{align}
	[/math]

	然后[math]t[/math]<sub>score</sub>由以下公式给出		然后[math]t[/math]<sub>score</sub>由以下公式给出
第172行：		第158行：
	* 两个样本量相等，		* 两个样本量相等，
	* 可以假设两个分布具有相同的方差。		* 可以假设两个分布具有相同的方差。
	对这些假设的违反在下文中讨论。		对这些假设的违反在下文中讨论。

	测试均值是否不同的[math]t[/math]统计量可以如下计算：		测试均值是否不同的[math]t[/math]统计量可以如下计算：
第209行：		第195行：
	这里{{math\|[math]s<sub>i</sub>[/math]<sup>2</sup>}} 是两个样本的[[方差]]的[[无偏估计量]]，{{math\|[math]n<sub>i</sub>[/math]}} = 组[math]i[/math]中的参与者数量（[math]i[/math] = 1 或 2）。在这种情况下，[math](s_{\bar\Delta})^2[/math]不是合并方差。在显著性检验中，测试统计量的分布被近似为普通学生[math]t[/math]-分布，自由度使用以下方式计算：		这里{{math\|[math]s<sub>i</sub>[/math]<sup>2</sup>}} 是两个样本的[[方差]]的[[无偏估计量]]，{{math\|[math]n<sub>i</sub>[/math]}} = 组[math]i[/math]中的参与者数量（[math]i[/math] = 1 或 2）。在这种情况下，[math](s_{\bar\Delta})^2[/math]不是合并方差。在显著性检验中，测试统计量的分布被近似为普通学生[math]t[/math]-分布，自由度使用以下方式计算：

	: [math] \text{d.f.} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}.		: [math] \text{d.f.} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}.[/math]
	[/math]

	这被称为[[Welch–Satterthwaite 方程]]。测试统计量的真实分布实际上（略微）依赖于两个未知的总体方差（参见[[Behrens–Fisher 问题]])。		这被称为[[Welch–Satterthwaite 方程]]。测试统计量的真实分布实际上（略微）依赖于两个未知的总体方差（参见[[Behrens–Fisher 问题]])。
第344行：		第329行：
	对于单样本多元测试，假设是平均向量 ({{math\|'''μ'''}}) 等于给定向量 ({{math\|'''μ'''<sub>0</sub>}})。测试统计量是[[Hotelling's t-squared statistic\|Hotelling's [math]t[/math]{{isup\|2}}]]：		对于单样本多元测试，假设是平均向量 ({{math\|'''μ'''}}) 等于给定向量 ({{math\|'''μ'''<sub>0</sub>}})。测试统计量是[[Hotelling's t-squared statistic\|Hotelling's [math]t[/math]{{isup\|2}}]]：

	:[math]		:[math]t^2=n(\bar{\mathbf x}-{\boldsymbol\mu_0})'{\mathbf S}^{-1}(\bar{\mathbf x}-{\boldsymbol\mu_0})[/math]
	t^2=n(\bar{\mathbf x}-{\boldsymbol\mu_0})'{\mathbf S}^{-1}(\bar{\mathbf x}-{\boldsymbol\mu_0})
	[/math]

	其中 {{math\|''n''}} 是样本量，{{math\|{{overline\|'''x'''}}}} 是列均值向量，{{math\|'''S'''}} 是一个 {{math\|''m'' × ''m''}} [[sample covariance matrix]]。		其中 {{math\|''n''}} 是样本量，{{math\|{{overline\|'''x'''}}}} 是列均值向量，{{math\|'''S'''}} 是一个 {{math\|''m'' × ''m''}} [[sample covariance matrix]]。
第352行：		第335行：
	对于两样本多元测试，假设是两个样本的平均向量 ({{math\|'''μ'''<sub>1</sub>, '''μ'''<sub>2</sub>}}) 相等。测试统计量是[[Hotelling's two-sample t-squared statistic\|Hotelling's two-sample [math]t[/math]{{isup\|2}}]]：		对于两样本多元测试，假设是两个样本的平均向量 ({{math\|'''μ'''<sub>1</sub>, '''μ'''<sub>2</sub>}}) 相等。测试统计量是[[Hotelling's two-sample t-squared statistic\|Hotelling's two-sample [math]t[/math]{{isup\|2}}]]：

	:[math]t^2 = \frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}\left(\bar{\mathbf x}_1-\bar{\mathbf x}_2\right)'{\mathbf S_\text{pooled}}^{-1}\left(\bar{\mathbf x}_1-\bar{\mathbf x}_2\right).[/math]		:[math]t^2 = \frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}\left(\bar{\mathbf x}_1-\bar{\mathbf x}_2\right)'{\mathbf S_\text{pooled}}^{-1}\left(\bar{\mathbf x}_1-\bar{\mathbf x}_2\right)[/math]

	### 两样本t检验是简单线性回归的特例		### 两样本t检验是简单线性回归的特例
第457行：		第440行：
	<syntaxhighlight lang="R">		<syntaxhighlight lang="R">
	t.test(x, y = NULL,		t.test(x, y = NULL,
	alternative = c("two.sided", "less", "greater"),		alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
	mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,		mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
	conf.level = 0.95, ...)		conf.level = 0.95, ...)
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

2024年1月22日 (一) 12:10 Zeroclanzhang

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2024年1月22日 (一) 09:53 RainW

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第30行：		第30行：
	'''t检验'''是一种用于测试两组反应之间的差异是否具有[[统计显著性\|统计意义]]的[[统计假设检验\|统计假设检验]]方法。它是任何在[[零假设]]下[[检验统计量]]遵循[[学生t分布\|学生''t''分布]]的[[统计假设检验]]。当测试统计量在其[[标度参数\|缩放项]]已知的情况下遵循[[正态分布]]时，最常用（通常情况下，缩放项是未知的，因此是一个[[干扰参数]]）。当基于[[数据]]估计缩放项时，在某些条件下，测试统计量遵循学生''t''分布。''t''检验最常见的应用是测试两个群体的均值是否显著不同。在许多情况下，[[Z检验]]的结果与t检验非常相似，因为后者随着数据集大小的增加而趋近于前者。		'''t检验'''是一种用于测试两组反应之间的差异是否具有[[统计显著性\|统计意义]]的[[统计假设检验\|统计假设检验]]方法。它是任何在[[零假设]]下[[检验统计量]]遵循[[学生t分布\|学生''t''分布]]的[[统计假设检验]]。当测试统计量在其[[标度参数\|缩放项]]已知的情况下遵循[[正态分布]]时，最常用（通常情况下，缩放项是未知的，因此是一个[[干扰参数]]）。当基于[[数据]]估计缩放项时，在某些条件下，测试统计量遵循学生''t''分布。''t''检验最常见的应用是测试两个群体的均值是否显著不同。在许多情况下，[[Z检验]]的结果与t检验非常相似，因为后者随着数据集大小的增加而趋近于前者。

	==历史==		=='''历史'''==
	[[File:William Sealy Gosset.jpg\|thumb\|upright\|开发了“''t''统计量”并以[[假名]]“学生”发表的[[威廉·西利·戈塞特]]]]		[[File:William Sealy Gosset.jpg\|thumb\|upright\|开发了“''t''统计量”并以[[假名]]“学生”发表的[[威廉·西利·戈塞特]]]]

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	Guinness有一项政策，允许技术人员请假学习（所谓的"学习假期"），Gosset在1906–1907学年的前两个学期中，在[[University College London]]的[[Karl Pearson]]教授的生物测量实验室使用了这一政策。<ref>{{cite journal \|last=Raju \|first=T. N. \|s2cid=32745754 \|title=William Sealy Gosset and William A. Silverman: Two 'Students' of Science \|journal=[[Pediatrics (journal)\|Pediatrics]] \|volume=116 \|issue=3 \|pages=732–735 \|year=2005 \|pmid=16140715 \|doi=10.1542/peds.2005-1134}}</ref> 当时Gosset的身份已为其他统计学家和主编Karl Pearson所知。<ref name="Dodge2008">{{cite book \|first=Yadolah \|last=Dodge \|author-link=Yadolah Dodge \|title=The Concise Encyclopedia of Statistics \|url=https://books.google.com/books?id=k2zklGOBRDwC&pg=PA234 \|year=2008 \|publisher=Springer Science & Business Media \|isbn=978-0-387-31742-7 \|pages=234–235}}</ref>		Guinness有一项政策，允许技术人员请假学习（所谓的"学习假期"），Gosset在1906–1907学年的前两个学期中，在[[University College London]]的[[Karl Pearson]]教授的生物测量实验室使用了这一政策。<ref>{{cite journal \|last=Raju \|first=T. N. \|s2cid=32745754 \|title=William Sealy Gosset and William A. Silverman: Two 'Students' of Science \|journal=[[Pediatrics (journal)\|Pediatrics]] \|volume=116 \|issue=3 \|pages=732–735 \|year=2005 \|pmid=16140715 \|doi=10.1542/peds.2005-1134}}</ref> 当时Gosset的身份已为其他统计学家和主编Karl Pearson所知。<ref name="Dodge2008">{{cite book \|first=Yadolah \|last=Dodge \|author-link=Yadolah Dodge \|title=The Concise Encyclopedia of Statistics \|url=https://books.google.com/books?id=k2zklGOBRDwC&pg=PA234 \|year=2008 \|publisher=Springer Science & Business Media \|isbn=978-0-387-31742-7 \|pages=234–235}}</ref>

	~~<!--~~		=='''应用'''==
	~~==t统计量的性质== -->~~

	==应用==
	[[File:One sample t-test.png\|thumb\|right]]		[[File:One sample t-test.png\|thumb\|right]]
	[[File:2 Sample Test.png\|thumb\|right]]		[[File:2 Sample Test.png\|thumb\|right]]
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	* 一种'''双样本'''位置检验，零假设是两个总体的[[期望值\|均值]]相等。所有这些检验通常被称为'''Student的''t''检验'''，严格来说，这个名称只应当在假设两个总体的[[方差]]也相等时使用；当这个假设被放弃时，使用的检验形式有时被称为[[Welch's t test\|Welch's ''t''检验]]。这些检验通常被称为'''非配对'''或'''独立样本''t''检验'''，因为它们通常用于比较两个样本的[[统计单元]]不重叠的情况。<ref name=fadem>{{cite book \|last=Fadem \|first=Barbara \|title=High-Yield Behavioral Science \|series=High-Yield Series \|publisher=Lippincott Williams & Wilkins \|location=Hagerstown, MD \|year=2008 \|isbn=9781451130300 }}</ref>		* 一种'''双样本'''位置检验，零假设是两个总体的[[期望值\|均值]]相等。所有这些检验通常被称为'''Student的''t''检验'''，严格来说，这个名称只应当在假设两个总体的[[方差]]也相等时使用；当这个假设被放弃时，使用的检验形式有时被称为[[Welch's t test\|Welch's ''t''检验]]。这些检验通常被称为'''非配对'''或'''独立样本''t''检验'''，因为它们通常用于比较两个样本的[[统计单元]]不重叠的情况。<ref name=fadem>{{cite book \|last=Fadem \|first=Barbara \|title=High-Yield Behavioral Science \|series=High-Yield Series \|publisher=Lippincott Williams & Wilkins \|location=Hagerstown, MD \|year=2008 \|isbn=9781451130300 }}</ref>

	==假设==		=='''假设'''==
	{{Dubious\|假设\|date=October 2022}}		{{Dubious\|假设\|date=October 2022}}
	大多数检验统计量的形式为{{math\|1=''t'' = ''Z''/''s''}}，其中{{math\|''Z''}}和{{math\|''s''}}是数据的函数。		大多数检验统计量的形式为{{math\|1=''t'' = ''Z''/''s''}}，其中{{math\|''Z''}}和{{math\|''s''}}是数据的函数。
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	: [math]\therefore \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{s} \xrightarrow{d} N(0, 1)[/math]。		: [math]\therefore \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{s} \xrightarrow{d} N(0, 1)[/math]。

	==无配对和配对的两样本''t''检验==		=='''无配对和配对的两样本''t''检验'''==

	[[File:Type 1 error.png\|thumb\|无配对和配对两样本''t''检验的I型错误，作为相关性的函数。模拟的随机数源自方差为1的双变量正态分布。显著性水平为5%，案例数为60。]]		[[File:Type 1 error.png\|thumb\|无配对和配对两样本''t''检验的I型错误，作为相关性的函数。模拟的随机数源自方差为1的双变量正态分布。显著性水平为5%，案例数为60。]]
第102行：		第99行：
	成对样本[math]t[/math]-检验通常被称为“依赖样本[math]t[/math]-检验”。		成对样本[math]t[/math]-检验通常被称为“依赖样本[math]t[/math]-检验”。

	==计算==		=='''计算'''==
	下面给出了可用于执行各种[math]t[/math]-检验的显式表达式。在每种情况下，都给出了在零假设下完全遵循或接近遵循[math]t[/math]-分布的检验统计量的公式。同时，每种情况下都给出了适当的[[degrees of freedom (statistics)\|自由度]]。每一种统计量都可以用于执行[[One-tailed test\|单尾或双尾检验]]。		下面给出了可用于执行各种[math]t[/math]-检验的显式表达式。在每种情况下，都给出了在零假设下完全遵循或接近遵循[math]t[/math]-分布的检验统计量的公式。同时，每种情况下都给出了适当的[[degrees of freedom (statistics)\|自由度]]。每一种统计量都可以用于执行[[One-tailed test\|单尾或双尾检验]]。

第285行：		第282行：
	\|}		\|}

	== 实际例子 ==		== '''实际例子''' ==
	{{bad summary}}		{{bad summary}}
	让 {{math\|''A''<sub>1</sub>}} 代表通过抽取六个测量值得到的一个集合：		让 {{math\|''A''<sub>1</sub>}} 代表通过抽取六个测量值得到的一个集合：
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	检验统计量大约等于1.959，给出双尾[math]p[/math]-值为0.07857。		检验统计量大约等于1.959，给出双尾[math]p[/math]-值为0.07857。

	== 相关统计检验 ==		== '''相关统计检验''' ==
	=== [math]t[/math]-检验的位置问题的替代方法 ===		=== [math]t[/math]-检验的位置问题的替代方法 ===
	[math]t[/math]-检验为两个独立同分布的正态群体的平均值相等性提供了一个精确检验，这两个群体具有未知但相等的方差。（[[Welch's t-test\|韦尔奇的[math]t[/math]-检验]]几乎是一个精确的检验，用于数据正态但方差可能不同的情况。）对于中等大的样本和单尾检验，[math]t[/math]-检验对正态性假设的中度违反相对稳健。<ref name="Sawilowsky-Blair">{{cite journal \|last1=Sawilowsky \|first1=Shlomo S. \|last2=Blair \|first2=R. Clifford \|year=1992 \|title=A More Realistic Look at the Robustness and Type II Error Properties of the [math]t[/math] Test to Departures From Population Normality \|journal=Psychological Bulletin \|volume=111 \|issue=2 \|pages=352–360 \|doi=10.1037/0033-2909.111.2.352}}</ref> 在足够大的样本中，[math]t[/math]-检验渐近地接近[[Z-test\|[math]z[/math]-检验]]，即使对正态性的大幅偏离也变得稳健。<ref name=":0" />		[math]t[/math]-检验为两个独立同分布的正态群体的平均值相等性提供了一个精确检验，这两个群体具有未知但相等的方差。（[[Welch's t-test\|韦尔奇的[math]t[/math]-检验]]几乎是一个精确的检验，用于数据正态但方差可能不同的情况。）对于中等大的样本和单尾检验，[math]t[/math]-检验对正态性假设的中度违反相对稳健。<ref name="Sawilowsky-Blair">{{cite journal \|last1=Sawilowsky \|first1=Shlomo S. \|last2=Blair \|first2=R. Clifford \|year=1992 \|title=A More Realistic Look at the Robustness and Type II Error Properties of the [math]t[/math] Test to Departures From Population Normality \|journal=Psychological Bulletin \|volume=111 \|issue=2 \|pages=352–360 \|doi=10.1037/0033-2909.111.2.352}}</ref> 在足够大的样本中，[math]t[/math]-检验渐近地接近[[Z-test\|[math]z[/math]-检验]]，即使对正态性的大幅偏离也变得稳健。<ref name=":0" />

2024年1月22日 (一) 09:35 RainW

2024-01-22T09:35:29Z

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2024年1月19日 (五) 11:02 Zeroclanzhang

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2024年1月18日 (四) 09:37 Zeroclanzhang

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	\|nodeshortdescription=<p>两独立样本T检验是利用来自两个总体的独立样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。检验的前提条件是两样本是相互独立，样本来自的两个总体应该服从正态分布。</p><p>用途：用于比较两个独立样本的均值是否存在显著差异。这种检验通常用于比较两个不同的群体或条件。</p><p>~~参数：选择一个分组变量和连续型数值变量~~</p>		\|nodeshortdescription=<p>两独立样本T检验是利用来自两个总体的独立样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。检验的前提条件是两样本是相互独立，样本来自的两个总体应该服从正态分布。</p><p>用途：用于比较两个独立样本的均值是否存在显著差异。这种检验通常用于比较两个不同的群体或条件。</p><p>参数：选择一个分组变量和连续型数值变量。</p>
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2023年12月8日 (五) 06:09 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 04:17 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 02:52 Zeroclanzhang

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