两样本配对T检验 - 版本历史

2024年1月24日 (三) 02:52 RainW

2024-01-24T02:52:39Z

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第118行：		第118行：
	举一个具体的例子，假设我们观察到学生在实施{{mvar\|A}}和{{mvar\|B}}两种教学策略下的考试成绩[math]X[/math]，每位学生在实施这两种教学策略之前，其数学知识水平要么“高”要么“低”。然而，我们不知道哪些学生属于“高”类别，哪些属于“低”类别。这四个可能的群体中的[[期望值\|人口平均]]考试成绩为		举一个具体的例子，假设我们观察到学生在实施{{mvar\|A}}和{{mvar\|B}}两种教学策略下的考试成绩[math]X[/math]，每位学生在实施这两种教学策略之前，其数学知识水平要么“高”要么“低”。然而，我们不知道哪些学生属于“高”类别，哪些属于“低”类别。这四个可能的群体中的[[期望值\|人口平均]]考试成绩为

	[math]\begin{~~tabular~~}{l\|ll}		[math]\begin{array}{l\|ll}
	& A & B \\		& A & B \\
	\hline High & \mu_{H A} & \mu_{H B} \\		\hline High & \mu_{H A} & \mu_{H B} \\
	Low & \mu_{L A} & \mu_{L B}		Low & \mu_{L A} & \mu_{L B}
	\end{~~tabular~~}[/math]		\end{array}[/math]

	和学生在各组中的比例为		和学生在各组中的比例为
	[math]\begin{~~tabular~~}{l\|ll}		[math]\begin{array}{l\|ll}
	& A & B \\		& A & B \\
	\hline High & p_{H A} & p_{H B} \\		\hline High & p_{H A} & p_{H B} \\
	Low & p_{L A} & p_{L B}		Low & p_{L A} & p_{L B}
	\end{~~tabular~~}[/math]		\end{array}[/math]

	其中 {{math\|1=[math]p_{HA} + p_{HB} + p_{LA} + p_{LB} = 1[/math]}}。		其中 {{math\|1=[math]p_{HA} + p_{HB} + p_{LA} + p_{LB} = 1[/math]}}。

2024年1月24日 (三) 02:45 RainW

2024-01-24T02:45:33Z

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第88行：		第88行：
	[/math]		[/math]

	只要<math>\rho</math>，即成对相关性为正，就满足这个条件。		只要[math]\rho[/math]，即成对相关性为正，就满足这个条件。

	===用于成对检验的随机效应模型===		===用于成对检验的随机效应模型===
第118行：		第118行：
	举一个具体的例子，假设我们观察到学生在实施{{mvar\|A}}和{{mvar\|B}}两种教学策略下的考试成绩[math]X[/math]，每位学生在实施这两种教学策略之前，其数学知识水平要么“高”要么“低”。然而，我们不知道哪些学生属于“高”类别，哪些属于“低”类别。这四个可能的群体中的[[期望值\|人口平均]]考试成绩为		举一个具体的例子，假设我们观察到学生在实施{{mvar\|A}}和{{mvar\|B}}两种教学策略下的考试成绩[math]X[/math]，每位学生在实施这两种教学策略之前，其数学知识水平要么“高”要么“低”。然而，我们不知道哪些学生属于“高”类别，哪些属于“低”类别。这四个可能的群体中的[[期望值\|人口平均]]考试成绩为

	[math]		[math]\begin{tabular}{l\|ll}
	\begin{~~array~~}{l\|ll}		& A & B \\
	& A & B \\		\hline High & \mu_{H A} & \mu_{H B} \\
	\hline		Low & \mu_{L A} & \mu_{L B}
	~~ext{高}~~ & \mu_{HA} & \mu_{HB} \\		\end{tabular}[/math]
	~~ext{低}~~ & \mu_{LA} & \mu_{LB}
	\end{~~array~~}
	[/math]
	和学生在各组中的比例为		和学生在各组中的比例为
	[math]		[math]\begin{tabular}{l\|ll}
	\begin{~~array~~}{l\|ll}		& A & B \\
	& A & B \\		\hline High & p_{H A} & p_{H B} \\
	\hline		Low & p_{L A} & p_{L B}
	~~ext{高}~~ & p_{HA} & p_{HB} \\		\end{tabular}[/math]
	~~ext{低}~~ & p_{LA} & p_{LB}
	\end{~~array~~}
	[/math]
	其中 {{math\|1=[math]p_{HA} + p_{HB} + p_{LA} + p_{LB} = 1[/math]}}。		其中 {{math\|1=[math]p_{HA} + p_{HB} + p_{LA} + p_{LB} = 1[/math]}}。

2024年1月24日 (三) 02:38 RainW

2024-01-24T02:38:17Z

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第52行：		第52行：
	其中[math]n[/math]是对的数量。因此，组间的平均差异不依赖于我们是否将数据作为对组织。		其中[math]n[/math]是对的数量。因此，组间的平均差异不依赖于我们是否将数据作为对组织。

	尽管配对和非配对统计的平均差异是相同的，但它们的统计显著性水平可能非常不同，因为非配对统计的方差容易被高估。		尽管配对和非配对统计的平均差异是相同的，但它们的统计显著性水平可能非常不同，因为非配对统计的方差容易被高估。[math]\overline{D}[/math]的方差是[math]\begin{aligned} \operatorname{var}(\bar{D}) & =\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{2}-\bar{Y}_{1}\right) \\ & =\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{2}\right)+\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{1}\right)-2 \operatorname{cov}\left(\bar{Y}_{1}, \bar{Y}_{2}\right) \\ & =\sigma_{1}^{2} / n+\sigma_{2}^{2} / n-2 \sigma_{1} \sigma_{2} \operatorname{corr}\left(Y_{i 1}, Y_{i 2}\right) / n\end{aligned}[/math]
	[math]\overline{D}[/math]的方差是[math]
	\begin{~~align~~}
	{~~\rm~~ var}(\~~overline~~{D}) &= \operatorname{var}(\~~overline~~{Y}_2-\~~overline~~{Y}_1)\\
	&= \operatorname{var}(\~~overline~~{Y}_2) + \operatorname{var}(\~~overline~~{Y}_1) - 2\operatorname{cov}(\~~overline~~{Y}_1,\~~overline~~{Y}_2)\\
	&= \~~frac~~{~~\sigma_1~~^2}{n} + \~~frac~~{~~\sigma_2~~^2}{n} - \~~frac~~{2~~\sigma_1\sigma_2~~\operatorname{corr}(Y_{i1}, Y_{i2})}{n},
	\end{~~align~~}
	[/math]

	其中[math]\sigma_1[/math]和[math]\sigma_2[/math]分别是[math]Y_{i1}[/math]和[math]Y_{i2}[/math]数据的总体标准差。因此，如果每对内有正相关，[math]\overline{D}[/math]的方差会更低。在重复测量设置中，这种相关性非常常见，因为许多影响被比较值的因素不受治疗影响。例如，如果胆固醇水平与年龄相关，年龄的影响将导致受试者内部测量的胆固醇水平之间的正相关性，只要研究的持续时间相对于样本中年龄变化的小。		其中[math]\sigma_1[/math]和[math]\sigma_2[/math]分别是[math]Y_{i1}[/math]和[math]Y_{i2}[/math]数据的总体标准差。因此，如果每对内有正相关，[math]\overline{D}[/math]的方差会更低。在重复测量设置中，这种相关性非常常见，因为许多影响被比较值的因素不受治疗影响。例如，如果胆固醇水平与年龄相关，年龄的影响将导致受试者内部测量的胆固醇水平之间的正相关性，只要研究的持续时间相对于样本中年龄变化的小。
第80行：		第73行：
	\end{align}		\end{align}
	[/math]		[/math]

	[math]\begin{aligned} \operatorname{var}(\bar{D}) & =\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{2}-\bar{Y}_{1}\right) \\ & =\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{2}\right)+\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{1}\right)-2 \operatorname{cov}\left(\bar{Y}_{1}, \bar{Y}_{2}\right) \\ & =\sigma_{1}^{2} / n+\sigma_{2}^{2} / n-2 \sigma_{1} \sigma_{2} \operatorname{corr}\left(Y_{i 1}, Y_{i 2}\right) / n\end{aligned}[/math]

	在哪里''S''是<span style="text-decoration: overline">''D''</span>的标准偏差，Φ是标准的[[正态分布\|正态]] [[累积分布函数]]，而''δ'' = E''Y''<sub>2</sub> − E''Y''<sub>1</sub>是治疗的真实效果。常数1.645是标准正态分布的第95个百分位数，定义了测试的拒绝区域。		在哪里''S''是<span style="text-decoration: overline">''D''</span>的标准偏差，Φ是标准的[[正态分布\|正态]] [[累积分布函数]]，而''δ'' = E''Y''<sub>2</sub> − E''Y''<sub>1</sub>是治疗的真实效果。常数1.645是标准正态分布的第95个百分位数，定义了测试的拒绝区域。
第93行：		第84行：
	通过比较成对和非成对检验的功效表达式，可以看出，只要满足以下条件，成对检验的功效就更高：		通过比较成对和非成对检验的功效表达式，可以看出，只要满足以下条件，成对检验的功效就更高：

	:[math]		[math]
	\sqrt{\sigma_1^2/n + \sigma_2^2/n}/S = \sqrt{\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho}} > 1 \text{ 其中 } \rho := \operatorname{corr}(Y_{i1},Y_{i2})。		\sqrt{\sigma_1^2/n + \sigma_2^2/n}/S = \sqrt{\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho}} > 1 \text{ 其中 } \rho := \operatorname{corr}(Y_{i1},Y_{i2})。
	[/math]		[/math]
第103行：		第94行：
	以下统计模型有助于理解成对差异检验		以下统计模型有助于理解成对差异检验

	:[math]		[math]
	Y_{ij} = \mu_j + \alpha_i + \varepsilon_{ij}		Y_{ij} = \mu_j + \alpha_i + \varepsilon_{ij}
	[/math]		[/math]
第111行：		第102行：
	在这个模型中，{{math\|''α''<sub>''i''</sub>}}捕获了对治疗前后测量都有相同影响的"稳定混杂因素"。当我们相减形成{{math\|''D''<sub>''i''</sub>}}时，''α''<sub>''i''</sub>会抵消，因此不会对方差产生贡献。成对的协方差是		在这个模型中，{{math\|''α''<sub>''i''</sub>}}捕获了对治疗前后测量都有相同影响的"稳定混杂因素"。当我们相减形成{{math\|''D''<sub>''i''</sub>}}时，''α''<sub>''i''</sub>会抵消，因此不会对方差产生贡献。成对的协方差是

	:[math]		[math]
	\operatorname{cov}(Y_{i1}, Y_{i2}) = \operatorname{var}(\alpha_i)。		\operatorname{cov}(Y_{i1}, Y_{i2}) = \operatorname{var}(\alpha_i)。
	[/math]		[/math]

2024年1月24日 (三) 02:35 RainW

2024-01-24T02:35:01Z

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第52行：		第52行：
	其中[math]n[/math]是对的数量。因此，组间的平均差异不依赖于我们是否将数据作为对组织。		其中[math]n[/math]是对的数量。因此，组间的平均差异不依赖于我们是否将数据作为对组织。

	尽管配对和非配对统计的平均差异是相同的，但它们的统计显著性水平可能非常不同，因为非配对统计的方差容易被高估。[math]\overline{D}[/math]的方差是[math]		尽管配对和非配对统计的平均差异是相同的，但它们的统计显著性水平可能非常不同，因为非配对统计的方差容易被高估。
			[math]\overline{D}[/math]的方差是[math]
	\begin{align}		\begin{align}
	{\rm var}(\overline{D}) &= \operatorname{var}(\overline{Y}_2-\overline{Y}_1)\\		{\rm var}(\overline{D}) &= \operatorname{var}(\overline{Y}_2-\overline{Y}_1)\\
第79行：		第80行：
	\end{align}		\end{align}
	[/math]		[/math]

			[math]\begin{aligned} \operatorname{var}(\bar{D}) & =\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{2}-\bar{Y}_{1}\right) \\ & =\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{2}\right)+\operatorname{var}\left(\bar{Y}_{1}\right)-2 \operatorname{cov}\left(\bar{Y}_{1}, \bar{Y}_{2}\right) \\ & =\sigma_{1}^{2} / n+\sigma_{2}^{2} / n-2 \sigma_{1} \sigma_{2} \operatorname{corr}\left(Y_{i 1}, Y_{i 2}\right) / n\end{aligned}[/math]

	在哪里''S''是<span style="text-decoration: overline">''D''</span>的标准偏差，Φ是标准的[[正态分布\|正态]] [[累积分布函数]]，而''δ'' = E''Y''<sub>2</sub> − E''Y''<sub>1</sub>是治疗的真实效果。常数1.645是标准正态分布的第95个百分位数，定义了测试的拒绝区域。		在哪里''S''是<span style="text-decoration: overline">''D''</span>的标准偏差，Φ是标准的[[正态分布\|正态]] [[累积分布函数]]，而''δ'' = E''Y''<sub>2</sub> − E''Y''<sub>1</sub>是治疗的真实效果。常数1.645是标准正态分布的第95个百分位数，定义了测试的拒绝区域。

2024年1月24日 (三) 02:27 RainW

2024-01-24T02:27:33Z

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第45行：		第45行：
	* 在“配对差异分析”中，我们首先从每个受试者的治疗后值中减去治疗前值，然后将这些差异与零进行比较。		* 在“配对差异分析”中，我们首先从每个受试者的治疗后值中减去治疗前值，然后将这些差异与零进行比较。

	如果我们只考虑均值，配对和非配对的方法给出相同的结果。要看到这一点，设[math]Y_{i1}, Y_{i2}[/math]为第[math]i[/math]对观察数据，设[math]D_i = Y_{i2} - Y_{i1}[/math]。另设[math]\overline{D}, \overline{Y_1}[/math]和[math]\overline{Y_2}[/math]分别表示[math]D_i, Y_{i1}[/math]和[math]Y_{i2}[/math]的样本均值。通过重新排列项，我们可以看到		如果我们只考虑均值，配对和非配对的方法给出相同的结果。要看到这一点，设[math]Y_{i1}, Y_{i2}[/math]为第[math]i[/math]对观察数据，设[math]D_i = Y_{i2} - Y_{i1}[/math]。另设[math]\overline{D}, \overline{Y_1}[/math]和[math]\overline{Y_2}[/math]分别表示[math]D_i, Y_{i1}[/math]和[math]Y_{i2}[/math]的样本均值。通过重新排列项，我们可以看到:
			[math]
	:[math]
	\overline{D} = \frac{1}{n}\sum_i (Y_{i2}-Y_{i1}) = \frac{1}{n}\sum_iY_{i2} - \frac{1}{n}\sum_iY_{i1} = \overline{Y}_2 - \overline{Y}_1,		\overline{D} = \frac{1}{n}\sum_i (Y_{i2}-Y_{i1}) = \frac{1}{n}\sum_iY_{i2} - \frac{1}{n}\sum_iY_{i1} = \overline{Y}_2 - \overline{Y}_1,
	[/math]		[/math]
第53行：		第52行：
	其中[math]n[/math]是对的数量。因此，组间的平均差异不依赖于我们是否将数据作为对组织。		其中[math]n[/math]是对的数量。因此，组间的平均差异不依赖于我们是否将数据作为对组织。

	尽管配对和非配对统计的平均差异是相同的，但它们的统计显著性水平可能非常不同，因为非配对统计的方差容易被高估。[math]\overline{D}[/math]的方差是		尽管配对和非配对统计的平均差异是相同的，但它们的统计显著性水平可能非常不同，因为非配对统计的方差容易被高估。[math]\overline{D}[/math]的方差是[math]

	:[math]
	\begin{align}		\begin{align}
	{\rm var}(\overline{D}) &= \operatorname{var}(\overline{Y}_2-\overline{Y}_1)\\		{\rm var}(\overline{D}) &= \operatorname{var}(\overline{Y}_2-\overline{Y}_1)\\
第67行：		第64行：
	===配对Z检验的功效===		===配对Z检验的功效===

	假设我们使用[[Z检验]]来分析数据，其中治疗前和治疗后数据的方差[math]\sigma_1^2[/math]和[math]\sigma_2^2[/math]是已知的（与[[t检验]]的情况相似）。非配对Z检验统计量是		假设我们使用[[Z检验]]来分析数据，其中治疗前和治疗后数据的方差[math]\sigma_1^2[/math]和[math]\sigma_2^2[/math]是已知的（与[[t检验]]的情况相似）。非配对Z检验统计量是:
			[math]
	:[math]
	\frac{\overline{Y}_2 - \overline{Y}_1}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n}}},		\frac{\overline{Y}_2 - \overline{Y}_1}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n}}},
	[/math]		[/math]

	在水平[math]\alpha = 0.05[/math]进行的非配对、[[双尾检验\|单尾]]检验的功效可以如下计算：		在水平[math]\alpha = 0.05[/math]进行的非配对、[[双尾检验\|单尾]]检验的功效可以如下计算：
			[math]
	:[math]
	\begin{align}		\begin{align}
	P\left(\frac{\overline{Y}_2 - \overline{Y}_1}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} > 1.645\right) &=		P\left(\frac{\overline{Y}_2 - \overline{Y}_1}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} > 1.645\right) &=
第89行：		第84行：
	通过类似的计算，成对Z检验的功效为		通过类似的计算，成对Z检验的功效为

	:[math]		[math]
	1 - \Phi(1.645 - \delta/S).		1 - \Phi(1.645 - \delta/S).
	[/math]		[/math]

2024年1月21日 (日) 09:52 RainW

2024-01-21T09:52:00Z

显示更改

2024年1月19日 (五) 11:02 Zeroclanzhang

2024-01-19T11:02:07Z

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第7行：		第7行：
	\|productionstate={{图标文件\|Win}} / {{图标文件\|W10}} Win10及以上可用		\|productionstate={{图标文件\|Win}} / {{图标文件\|W10}} Win10及以上可用
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	\|funcmaincategory=数据分析		\|funcmaincategory=数据分析
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2024年1月18日 (四) 09:37 Zeroclanzhang

2024-01-18T09:37:37Z

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第5行：		第5行：
	\|simpleicon=Paired Samples T_test_Pure.svg		\|simpleicon=Paired Samples T_test_Pure.svg
	\|developer=Dev.Team-DPS		\|developer=Dev.Team-DPS
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	\|funcmaincategory=数据分析		\|funcmaincategory=数据分析
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	\|nodecategory=数据挖掘		\|nodecategory=数据挖掘
	\|nodeinterpretor=R		\|nodeinterpretor=R
	\|nodeshortdescription=<p>两样本配对T检验是利用来自两个配对的总体，推断这两个配对总体的均值是否存在显著差异。检验的前提条件是两配对样本的样本数量相等，样本来自的两个总体应该服从正态分布。</p><p>用途：用于比较两个相关样本或配对观察值的均值是否存在显著差异。这种检验通常用于比较同一组实验对象在不同条件下或在不同时间点上的表现。</p><p>~~参数：选择一个分组变量和连续型数值变量~~</p>		\|nodeshortdescription=<p>两样本配对T检验是利用来自两个配对的总体，推断这两个配对总体的均值是否存在显著差异。检验的前提条件是两配对样本的样本数量相等，样本来自的两个总体应该服从正态分布。</p><p>用途：用于比较两个相关样本或配对观察值的均值是否存在显著差异。这种检验通常用于比较同一组实验对象在不同条件下或在不同时间点上的表现。</p><p>参数：选择一个分组变量和连续型数值变量。</p>
	\|nodeinputnumber=4		\|nodeinputnumber=4
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第19行：		第19行：
	\|nodeifswitchsupport=否		\|nodeifswitchsupport=否
	\|nodeavailableplotlist=SplittingNephelogram		\|nodeavailableplotlist=SplittingNephelogram
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	\|statsapewikiurl=https://wiki.statsape.com/两样本配对T检验		\|statsapewikiurl=https://wiki.statsape.com/两样本配对T检验
	\|previousnode=[[两独立样本T检验]]		\|previousnode=[[两独立样本T检验]]
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	}}		}}

2023年12月8日 (五) 06:09 Zeroclanzhang

2023-12-08T06:09:11Z

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第21行：		第21行：
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	\|previousnode=[[两独立样本T检验]]		\|previousnode=[[两独立样本T检验]]

2023年12月8日 (五) 04:17 Zeroclanzhang

2023-12-08T04:17:34Z

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第21行：		第21行：
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	\|previousnode=[[两独立样本T检验]]		\|previousnode=[[两独立样本T检验]]