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{{Short description|时间序列是按时间顺序排列的数据点序列}}
[[文件:Random-data-plus-trend-r2.png|缩略图|250px|时间序列：随机数据加趋势，配有最佳拟合线和不同的过滤器|alt=|右]]
在[[数学]]中，'''时间序列'''是按时间顺序索引（或列出或绘制）的[[数据点]]序列。最常见的，时间序列是在时间上连续且等间隔的点上取得的[[序列]]。因此，它是[[离散时间]]数据的序列。时间序列的例子包括海洋[[潮汐]]的高度，[[太阳黑子]]的数量，以及[[道琼斯工业平均指数]]的每日收盘值。

时间序列通常通过[[运行图]]（即时间性的[[折线图]]）绘制。时间序列在[[统计学]]、[[信号处理]]、[[模式识别]]、[[计量经济学]]、[[数理金融]]、[[天气预报]]、[[地震预测]]、[[脑电图]]、[[控制工程学]]、[[天文学]]、[[通信工程学]]以及涉及[[时间|时间]]测量的应用[[应用科学|科学]]和[[工程学]]的任何领域都有广泛应用。

'''时间序列 ''分析''''' 包括分析时间序列数据以提取有意义的统计数据和数据的其他特征的方法。'''时间序列 ''预测''''' 是使用[[模型 (抽象)|模型]]基于先前观察到的值来预测未来值。虽然[[回归分析]]经常被用来测试一个或多个不同时间序列之间的关系，但这类分析通常不被称为“时间序列分析”，它特别指的是单个序列内不同时间点之间的关系。

时间序列数据具有自然的时间顺序性。这使时间序列分析区别于[[横断面研究|横断面研究]]，在横断面研究中，观察结果没有自然的顺序（例如，通过参考各自的教育水平来解释人们的工资，个体数据可以以任何顺序输入）。时间序列分析也与[[空间数据分析]]不同，后者的观察结果通常与地理位置有关（例如，通过位置以及房屋的内在特性来解释房价）。时间序列的[[随机]]模型通常反映出这样一个事实：时间上接近的观察结果比时间上较远的观察结果更密切相关。此外，时间序列模型通常会利用时间的自然单向排序，以便某一时期的值以某种方式表示为源自过去的值，而不是未来的值（见[[时间可逆性]])。

时间序列分析可以应用于[[实数|实值]]、连续数据、[[:wikt:discrete|离散]] [[数据类型#数值类型|数值]]数据或离散符号数据（即字符序列，如[[英语]]中的字母和单词<ref>{{cite book |last1=Lin |first1=Jessica |last2=Keogh |first2=Eamonn |last3=Lonardi |first3=Stefano |last4=Chiu |first4=Bill |chapter=时间序列的符号表示及其对流式算法的影响 |title=第8届ACM SIGMOD关于数据挖掘和知识发现研究问题的研讨会记录 |pages=2–11 |year=2003 |location=纽约 |publisher=ACM出版社 |doi=10.1145/882082.882086|isbn=9781450374224 |citeseerx=10.1.1.14.5597 |s2cid=6084733 }}</ref>）。

==分析方法==
时间序列分析方法可以分为两大类：[[频域]]方法和[[时域]]方法。前者包括[[频谱#频谱分析|频谱分析]]和[[小波分析]]；后者包括[[自相关]]和[[互相关]]分析。在时域中，相关性和分析可以使用[[比例相关性]]以类似滤波器的方式进行，从而减少在频域操作的需要。

此外，时间序列分析技术可以分为[[参数估计|参数]]和[[非参数统计|非参数]]方法。[[参数估计|参数方法]]假设底层[[平稳过程|平稳随机过程]]具有一定的结构，可以使用少量的参数描述（例如，使用[[自回归]]或[[移动平均模型]]）。在这些方法中，任务是估计描述随机过程的模型的参数。相比之下，[[非参数统计|非参数方法]]明确估计过程的[[协方差]]或[[频谱]]，而不假设该过程具有任何特定的结构。

时间序列分析方法还可以分为[[线性回归|线性]]和[[非线性回归|非线性]]，以及[[单变量分析|单变量]]和[[多变量分析|多变量]]。

==面板数据==
时间序列是[[面板数据]]的一种类型。面板数据是一般类别，是多维数据集，而时间序列数据集是一维面板（如同[[横断面数据]]集）。数据集可能同时具有面板数据和时间序列数据的特征。判断的一种方式是询问什么使一个数据记录与其他记录不同。如果答案是时间数据字段，则这是时间序列数据集的候选。如果确定唯一记录需要一个时间数据字段和一个与时间无关的额外标识符（例如，学生ID、股票代码、国家代码），则它是面板数据候选。如果区分依据是非时间标识符，则该数据集是横断面数据集的候选。

==分析==
有多种类型的动机和数据分析可用于时间序列，适用于不同的目的。

===动机===
在[[统计学]]、[[计量经济学]]、[[定量金融]]、[[地震学]]、[[气象学]]和[[地球物理学]]的背景下，时间序列分析的主要目标是[[预测]]。在[[信号处理]]、[[控制工程]]和[[通信工程]]的背景下，它用于信号检测。其他应用包括[[数据挖掘]]、[[模式识别]]和[[机器学习]]，在这些领域中，时间序列分析可用于[[聚类分析|聚类]]，<ref>{{cite journal |last1=Warren Liao |first1=T. |title=时间序列数据的聚类——一项调查 |journal=模式识别 |date=2005年11月 |volume=38 |issue=11 |pages=1857–1874 |doi=10.1016/j.patcog.2005.01.025 |bibcode=2005PatRe..38.1857W |s2cid=8973749 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Aghabozorgi |first1=Saeed |last2=Seyed Shirkhorshidi |first2=Ali |last3=Ying Wah |first3=Teh |title=时间序列聚类 - 十年回顾 |journal=信息系统 |date=2015年10月 |volume=53 |pages=16–38 |doi=10.1016/j.is.2015.04.007 |s2cid=158707 }}</ref> [[统计分类|分类]]，<ref>{{cite book |doi=10.1145/775047.775062 |chapter=时间序列数据挖掘基准的需求：一项调查和实证示范 |title=第八届ACM SIGKDD国际知识发现与数据挖掘会议论文集 |date=2002 |last1=Keogh |first1=Eamonn |last2=Kasetty |first2=Shruti |pages=102–111 |isbn=1-58113-567-X }}</ref> 按内容查询，<ref>{{cite book |doi=10.1007/3-540-57301-1_5 |chapter=序列数据库中的高效相似性搜索 |title=数据组织和算法基础 |series=计算机科学讲义 |date=1993 |last1=Agrawal |first1=Rakesh |last2=Faloutsos |first2=Christos |last3=Swami |first3=Arun |volume=730 |pages=69–84 |isbn=978-3-540-57301-2 |s2cid=16748451 |url=https://figshare.com/articles/journal_contribution/6605123 }}</ref> [[异常检测]]以及[[预测]]。<ref>{{cite journal |last1=Chen |first1=Cathy W. S. |last2=Chiu |first2=L. M. |title=空气质量指数序时序列预测 |journal=熵 |date=2021年9月4日 |volume=23 |issue=9 |pages=1167 |doi=10.3390/e23091167 |pmid=34573792 |pmc=8469594 |bibcode=2021Entrp..23.1167C |doi-access=free }}</ref>

===探索性分析===
[[File:Tuberculosis incidence US 1953-2009.png|thumb|美国1953-2009年肺结核发病率]]
{{Further|探索性分析}}
检查常规时间序列的一种直接方法是手动使用[[折线图]]。右侧显示了一个示例图表，展示了使用电子表格程序制作的美国肺结核发病率。案例数量标准化为每10万人的比率，并计算了这一比率每年的百分比变化。几乎稳步下降的线条显示大多数年份中TB发病率正在下降，但这一比率的百分比变化最多可达+/- 10％，1975年和1990年代初出现“激增”。使用两个垂直轴可以在一个图形中比较两个时间序列。

对企业数据分析师的研究发现探索性时间序列分析面临两个挑战：发现有趣模式的形状，并为这些模式找到解释。<ref>{{cite book |doi=10.1109/vlhcc.2016.7739668 |chapter=时间序列模式的视觉发现和模型驱动解释 |title=2016年IEEE视觉语言与以人为本计算研讨会(VL/HCC) |date=2016 |last1=Sarkar |first1=Advait |last2=Spott |first2=Martin |last3=Blackwell |first3=Alan F. |last4=Jamnik |first4=Mateja |pages=78–86 |isbn=978-1-5090-0252-8 |s2cid=9787931 |chapter-url=https://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/260285 }}</ref> 将时间序列数据表示为[[热图|热图矩阵]]的视觉工具可以帮助克服这些挑战。

其他技术包括：

* [[自相关]]分析，以检查[[序列依赖性]]
* [[频谱#频谱分析|频谱分析]]，用于检查不一定与[[季节性]]相关的周期性行为。例如，太阳黑子活动在11年周期内变化。<ref>{{cite book |last1=Bloomfield |first1=Peter |title=时间序列的傅里叶分析：入门 |date=1976 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-08256-9 }}{{pn|date=2024年1月}}</ref><ref>{{cite book |last1=Shumway |first1=Robert H. |title=应用统计时间序列分析 |date=1988 |publisher=Prentice-Hall |isbn=978-0-13-041500-4 }}{{pn|date=2024年1月}}</ref> 其他常见示例包括天体现象、天气模式、神经活动、商品价格和经济活动。
* 将分量分离为代表趋势、季节性、缓慢和快速变化以及周期性不规则性：参见[[趋势估计]]和[[时间序列分解]]

=== 曲线拟合 ===
{{Main|Curve fitting}}

曲线拟合<ref>{{cite book |last1=Arlinghaus |first1=Sandra |title=Practical Handbook of Curve Fitting |date=1994 |publisher=CRC Press |isbn=978-0-8493-0143-8 }}{{pn|date=January 2024}}</ref><ref>{{cite book |last1=Kolb |first1=William M. |title=Curve Fitting for Programmable Calculators |date=1984 |publisher=SYNTEC |isbn=978-0-943494-02-9 }}{{pn|date=January 2024}}</ref> 是构建一个与一系列[[data]]点最匹配的[[curve]]或[[function (mathematics)|数学函数]]的过程，<ref>{{cite book |last1=Halli |first1=S. S. |last2=Rao |first2=K. V. |title=Advanced Techniques of Population Analysis |date=1992 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-306-43997-1 |page=165 |quote=functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data. }}</ref> 这个过程可能受到约束。<ref>''[https://archive.org/details/signalnoisewhymo00silv The Signal and the Noise]: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.'' By Nate Silver</ref><ref>{{cite book |last1=Pyle |first1=Dorian |title=Data Preparation for Data Mining |date=1999 |publisher=Morgan Kaufmann |isbn=978-1-55860-529-9 }}{{pn|date=January 2024}}</ref> 曲线拟合可以涉及[[interpolation]]，<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By [[Jaan Kiusalaas]]. Page 24.</ref><ref>{{cite book |last1=Kiusalaas |first1=Jaan |title=Numerical Methods in Engineering with Python 3 |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-62058-1 |page=21 }}</ref> 即对数据的精确拟合，或[[smoothing]]，<ref>{{cite book |last1=Guest |first1=Philip George |title=Numerical Methods of Curve Fitting |date=2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-64695-7 |page=349 }}</ref><ref>See also: [[Mollifier]]</ref> 即构建一个大致拟合数据的“平滑”函数。一个相关话题是[[regression analysis]]，<ref>{{cite book |last1=Motulsky |first1=Harvey |last2=Christopoulos |first2=Arthur |title=Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression: A Practical Guide to Curve Fitting |date=2004 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-803834-4 }}{{pn|date=January 2024}}</ref><ref>Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.{{date missing}}</ref> 它更多关注诸如在拟合带有随机误差观测数据的曲线时存在多少不确定性等[[statistical inference]]问题。拟合的曲线可以作为数据可视化的辅助工具，<ref>{{cite book |doi=10.1007/978-3-642-05036-7_65 |chapter=Modeling of Electromagnetic Waves Using Statistical and Numerical Techniques |title=Visual Informatics: Bridging Research and Practice |series=Lecture Notes in Computer Science |date=2009 |last1=Daud |first1=Hanita |last2=Sagayan |first2=Vijanth |last3=Yahya |first3=Noorhana |last4=Najwati |first4=Wan |volume=5857 |pages=686–695 |isbn=978-3-642-05035-0 }}</ref><ref>{{cite book |last1=Hauser |first1=John R. |title=Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models |date=2009 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4020-9920-5 |page=227 }}</ref> 用于推断无数据可用的函数值，<ref>{{cite book |doi=10.1016/S0076-695X(08)60643-2 |chapter=Nuclear and Atomic Spectroscopy |title=Spectroscopy |series=Methods in Experimental Physics |date=1976 |volume=13 |pages=115–346 [150] |isbn=978-0-12-475913-8 |editor1-first=Dudley |editor1-last=William }}</ref> 并总结两个或多个变量之间的关系。<ref>{{cite book |last1=Salkind |first1=Neil J. |title=Encyclopedia of Research Design |date=2010 |publisher=SAGE |isbn=978-1-4129-6127-1 |page=266 |url=https://books.google.com/books?id=HVmsxuaQl2oC&pg=PA266 }}</ref> [[Extrapolation]] 是指在观测数据范围之外，基于变量与其他变量的关系来估计变量值的过程，<ref>{{cite book |last1=Klosterman |first1=Richard E. |title=Community Analysis and Planning Techniques |date=1990 |publisher=Rowman & Littlefield Publishers |isbn=978-0-7425-7440-3 |page=1 }}</ref> 它受到[[Uncertainty|不确定性程度]]的影响，<ref>{{cite report |last1=Yoe |first1=Charles E. |title=An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments |date=March 1996 |publisher=U.S. Army Corps of Engineers |id={{DTIC|ADA316839}} |page=69 }}</ref> 因为它可能反映了构建曲线的方法，同时也反映了观测数据。

[[File:Growth equations.png|thumb|增长方程]]

对于通常预期会增长的过程，可以通过估算其参数来拟合右侧图形中的一条曲线（以及许多其他曲线）。

构建经济时间序列涉及到通过在早期和晚期日期之间的值（“基准”）进行[[interpolation]]来估计某些日期的某些组成部分。插值是在两个已知数量（历史数据）之间估算未知数量，或者从可用信息中推断出缺失信息（“阅读行间信息”）。<ref>{{cite book |last1=Hamming |first1=Richard |title=Numerical Methods for Scientists and Engineers |date=2012 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-13482-6 }}{{pn|date=January 2024}}</ref> 当周围数据可用且其趋势、季节性和长期周期已知时，插值非常有用。这通常通过使用所有相关日期已知的相关序列来完成。<ref>{{cite journal |last1=Friedman |first1=Milton |title=The Interpolation of Time Series by Related Series |journal=Journal of the American Statistical Association |date=December 1962 |volume=57 |issue=300 |pages=729–757 |doi=10.1080/01621459.1962.10500812 }}</ref> 另一种方法是使用[[polynomial interpolation]]或[[spline interpolation]]，在这里，将分段[[polynomial]]函数拟合到时间间隔中，使它们平滑地结合在一起。与插值密切相关的另一个问题是用简单函数近似复杂函数（也称为[[Polynomial regression|回归]]）。回归和插值之间的主要区别在于，多项式回归给出一个模拟整个数据集的单一多项式。而样条插值则产生一个由许多多项式组成的分段连续函数来模拟数据集。

[[外推]]是在原始观测范围之外，基于一个变量与另一个变量的关系来估计该变量值的过程。它与[[内插]]相似，后者在已知观测值之间产生估计，但外推存在更大的[[不确定性]]和产生无意义结果的风险更高。

===函数逼近===
{{Main|Function approximation}}
一般而言，函数逼近问题要求我们在一个明确定义的类别中选择一个[[函数 (数学)|函数]]，这个函数能以特定于任务的方式紧密匹配（"逼近"）一个目标函数。
函数逼近问题可以区分为两大类：首先，对于已知的目标函数，[[逼近理论]]是[[数值分析]]的一个分支，研究如何用特定类别的函数（例如，[[特殊函数]]）逼近某些已知函数（例如，[[多项式]]或[[有理函数]]），这些函数通常具有理想的特性（计算成本低、连续性、积分和极限值等）。

其次，目标函数，称之为''g''，可能是未知的；不是提供一个明确的公式，而是仅提供一组点（一个时间序列），形式为 (''x'', ''g''(''x''))。根据''g''的[[函数域|域]]和[[陪域]]的结构，可能适用多种逼近''g''的技术。例如，如果''g''是对[[实数]]的操作，可以使用[[内插]]、[[外推]]、[[回归分析]]和[[曲线拟合]]等技术。如果''g''的[[陪域]]（值域或目标集）是一个有限集，那么就涉及到[[统计分类|分类]]问题。一个相关的''在线''时间序列逼近问题<ref>{{cite book |doi=10.1109/ICDE.2010.5447930 |chapter=Space-efficient online approximation of time series data: Streams, amnesia, and out-of-order |title=2010 IEEE 26th International Conference on Data Engineering (ICDE 2010) |date=2010 |last1=Gandhi |first1=Sorabh |last2=Foschini |first2=Luca |last3=Suri |first3=Subhash |pages=924–935 |isbn=978-1-4244-5445-7 |s2cid=16072352 }}</ref>是一次性总结数据并构建一个近似表示，这个表示能支持各种时间序列查询，并对最坏情况下的误差有界限。

在某种程度上，不同的问题（[[回归分析|回归]]、[[统计分类|分类]]、[[适应度逼近]]）在[[统计学习理论]]中得到了统一的处理，它们被视为[[监督学习]]问题。

===预测和预报===
在[[统计学]]中，[[预测]]是[[统计推断]]的一部分。这种推断的一个特定方法被称为[[预测性推断]]，但预测可以在统计推断的几种方法中进行。实际上，统计学的一个描述是，它提供了一种将关于人口样本的知识转移到整个人口以及其他相关人口的手段，这并不一定与随时间的预测相同。当信息随时间转移，通常是转移到特定时间点，这个过程被称为[[预报]]。
* 完整的统计模型用于[[随机模拟]]目的，以产生时间序列的替代版本，代表未来非特定时间段内可能发生的情况
* 简单或完整的统计模型来描述时间序列在近期未来的可能结果，鉴于对最近结果的了解（预报）。
* 时间序列上的预测通常使用自动化统计软件包和编程语言进行，如[[Julia (编程语言)|Julia]]、[[Python (编程语言)|Python]]、[[R (编程语言)|R]]、[[SAS (软件)|SAS]]、[[SPSS]]等。
* 大规模数据上的预测可以使用[[Apache Spark]]和第三方包Spark-TS库进行。<ref>{{cite web |title=Time Series Analysis with Spark |author=Sandy Ryza |date=2020-03-18 |access-date=2021-01-12 |url=https://databricks.com/session/time-series-analysis-with-spark |format=slides of a talk at Spark Summit East 2016 |publisher=[[Databricks]]}}</ref>

===分类===
{{Main|Statistical classification}}
将时间序列模式分配到特定类别，例如根据一系列手势动作在[[手语]]中识别一个词。

===信号估计===
{{See also|Signal processing|Estimation theory}}
这种方法基于[[谐波分析]]和使用[[傅里叶变换]]在[[频域]]中对信号进行过滤，以及[[谱密度估计]]，其发展在[[第二次世界大战]]期间由数学家[[诺伯特·维纳]]、电气工程师[[鲁道夫·E·卡尔曼]]、[[丹尼斯·加博]]等人为了从噪声中过滤信号和预测某一时间点的信号值而显著加速。参见[[卡尔曼滤波器]]、[[估计理论]]和[[数字信号处理]]

===分割===
{{Main|Time-series segmentation}}
将时间序列分割成一系列片段。通常情况下，时间序列可以表示为一系列具有各自特征属性的个别片段。例如，电话会议的音频信号可以划分为对应于每个人讲话时的片段。在时间序列分割中，目标是识别时间序列中的片段边界点，并描述与每个片段相关的动态属性。可以使用[[变化检测|变点检测]]来解决这个问题，或者将时间序列建模为更复杂的系统，如马尔可夫跳跃线性系统。

=== 聚类 ===
时间序列数据可以被聚类，但在考虑子序列聚类时需要特别注意。<ref>{{cite journal |last1=Zolhavarieh |first1=Seyedjamal |last2=Aghabozorgi |first2=Saeed |last3=Teh |first3=Ying Wah |title=A Review of Subsequence Time Series Clustering |journal=The Scientific World Journal |date=2014 |volume=2014 |pages=312521 |doi=10.1155/2014/312521 |doi-access=free |pmid=25140332 |pmc=4130317 }}</ref> 时间序列聚类可分为：
* 整体时间序列聚类（寻找多个时间序列的聚类）
* 子序列时间序列聚类（单个时间序列，使用滑动窗口分割成块）
* 时间点聚类

==== 子序列时间序列聚类 ====
子序列时间序列聚类导致不稳定（随机）的聚类，这是通过使用滑动窗口进行块划分的''特征提取''引起的。<ref>{{cite journal |last1=Keogh |first1=Eamonn |last2=Lin |first2=Jessica |title=Clustering of time-series subsequences is meaningless: implications for previous and future research |journal=Knowledge and Information Systems |date=August 2005 |volume=8 |issue=2 |pages=154–177 |doi=10.1007/s10115-004-0172-7 }}</ref> 研究发现，聚类中心（聚类中时间序列的平均值 - 也是一个时间序列）遵循任意移动的正弦模式（不论数据集如何，即使是在[[random walk]]的实现上）。这意味着找到的聚类中心对数据集来说是非描述性的，因为聚类中心始终是非代表性的正弦波。

==模型==
时间序列数据的模型可以有多种形式，代表不同的[[stochastic processes|随机过程]]。在建模过程水平的变化时，三个实用重要性广泛的类别是''[[autoregressive|自回归]]''（AR）模型、''整合''（I）模型和''[[moving-average model|移动平均]]''（MA）模型。这三个类别依赖于之前的数据点线性关系。<ref name="linear time series">{{cite book |author-link=Neil Gershenfeld |last=Gershenfeld |first=N. |year=1999 |title=The Nature of Mathematical Modeling |url=https://archive.org/details/naturemathematic00gers_334 |url-access=limited |location=New York |publisher=Cambridge University Press |pages=[https://archive.org/details/naturemathematic00gers_334/page/n206 205]–208 |isbn=978-0521570954 }}</ref> 这些想法的组合产生了[[autoregressive moving-average model|自回归移动平均]]（ARMA）和[[autoregressive integrated moving average|自回归整合移动平均]]（ARIMA）模型。[[autoregressive fractionally integrated moving average|自回归部分整合移动平均]]（ARFIMA）模型是前三种模型的泛化。这些类别的扩展，用于处理向量值数据，在多变量时间序列模型的标题下可用，有时前述缩写通过包含一个表示“向量”的初始“V”，如VAR代表[[vector autoregression|向量自回归]]，被扩展。这些模型的另一套扩展可用于观测时间序列由某些“强制”时间序列驱动的情况（这可能对观测序列没有因果效应）：与多变量情况的区别在于，强制序列可能是确定性的或在实验者的控制之下。对于这些模型，缩写在末尾加上一个“X”表示“外生”。

时间序列中级别对先前数据点的非线性依赖引起了人们的兴趣，部分原因是它可能产生一种[[chaos theory|混沌]]时间序列。然而，更重要的是，实证调查可以表明，相较于线性模型，使用基于非线性模型得出的预测有其优势，例如在[[nonlinear autoregressive exogenous model]]中。关于非线性时间序列分析的进一步参考文献：(Kantz and Schreiber)，<ref>{{cite book|last1=Kantz|first1=Holger|last2=Thomas|first2=Schreiber|title=Nonlinear Time Series Analysis|date=2004|publisher=Cambridge University Press|location=London|isbn=978-0521529020}}</ref> 以及 (Abarbanel)<ref>{{cite book|last1=Abarbanel|first1=Henry|title=Analysis of Observed Chaotic Data|date=Nov 25, 1997|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0387983721}}</ref>

在其他类型的非线性时间序列模型中，有模型用来表示随时间变化的方差（[[heteroskedasticity]]）。这些模型代表了[[autoregressive conditional heteroskedasticity]]（ARCH），并包括了各种表现形式（[[GARCH]]、TARCH、EGARCH、FIGARCH、CGARCH等）。在这里，变异性的变化与观测序列的最近过去值相关，或由其预测。这与其他可能的局部变异性表示形式形成对比，其中变异性可能被模型化为由一个单独的时变过程驱动，如在[[doubly stochastic model]]中。

在最近关于无模型分析的工作中，基于小波变换的方法（例如局部稳定小波和小波分解神经网络）获得了青睐。多尺度（通常被称为多分辨率）技术分解了给定的时间序列，试图在多个尺度上展示时间依赖性。另见[[Markov switching multifractal]]（MSMF）技术，用于建模波动性演变。

[[Hidden Markov model]]（HMM）是一种统计马尔可夫模型，其中被建模的系统假设为具有未观察到的（隐藏的）状态的马尔可夫过程。HMM可以被视为最简单的[[dynamic Bayesian network]]。HMM模型广泛应用于[[speech recognition]]，将一系列口语化的单词转换为文本。

许多这样的模型被收集在python包[[sktime]]中。

===符号===
时间序列分析使用了多种不同的符号。一种常见的符号，指定一个由[[natural number]]s索引的时间序列''X''，写为：
:''X'' = (''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...).

另一种常见的符号是：
:''Y'' = (''Y<sub>t</sub>'': ''t'' ∈ ''T''),
其中''T''是[[index set]]。

===条件===
大部分理论建立在两组条件下：
* [[Stationary process]]
* [[Ergodic process]]

遍历性意味着平稳性，但反之则不一定。平稳性通常分为[[strict stationarity]]和宽意义或[[Stationary process#Weaker forms of stationarity|second-order stationarity]]。这些条件下可以开发模型和应用，尽管后者的模型可能被视为只部分指定。

此外，时间序列分析可以应用于季节性平稳或非平稳的序列。频率成分幅度随时间变化的情况可以通过[[time-frequency analysis]]处理，该方法使用时间序列或信号的[[time–frequency representation]]。<ref>Boashash, B. (ed.), (2003) ''Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference'', Elsevier Science, Oxford, 2003 {{isbn|0-08-044335-4}}</ref>

===工具===
用于研究时间序列数据的工具包括：

* 考虑[[autocorrelation|自相关函数]]和[[spectral density|频谱密度函数]]（也包括[[cross-correlation function|互相关函数]]和交叉频谱密度函数）
* [[Scaled correlation|比例]]化的互相关和自相关函数，用于去除慢速组分的影响<ref name="Nikolicetal">{{cite journal |last1=Nikolić |first1=Danko |last2=Mureşan |first2=Raul C. |last3=Feng |first3=Weijia |last4=Singer |first4=Wolf |title=Scaled correlation analysis: a better way to compute a cross-correlogram |journal=European Journal of Neuroscience |date=March 2012 |volume=35 |issue=5 |pages=742–762 |doi=10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x |pmid=22324876 |s2cid=4694570 }}</ref>
* 执行[[Fourier transform|傅立叶变换]]，以在[[frequency domain|频域]]中研究序列
* 时间序列的离散、连续或混合光谱，取决于时间序列是否包含（广义的）谐波信号
* 使用[[digital filter|数字滤波器]]去除不需要的[[noise (physics)|噪声]]
* [[Principal component analysis|主成分分析]]（或[[empirical orthogonal function|经验正交函数]]分析）
* [[Singular spectrum analysis|奇异谱分析]]
* “结构性”模型：

** 一般[[State Space Model|状态空间模型]]
** 未观测组分模型

* [[Machine Learning|机器学习]]

** [[Artificial neural network|人工神经网络]]
** [[Support vector machine|支持向量机]]
** [[Fuzzy logic|模糊逻辑]]
** [[Gaussian process|高斯过程]]
** [[Genetic Programming|遗传编程]]
** [[Gene expression programming|基因表达编程]]
** [[Hidden Markov model|隐马尔可夫模型]]
** [[Multi expression programming|多表达式编程]]

* [[Queueing theory|排队论]]分析
* [[Control chart|控制图]]

** [[Shewhart individuals control chart|舍哈特个体控制图]]
** [[CUSUM|累积和]]图
** [[EWMA chart|指数加权移动平均]]图

* [[Detrended fluctuation analysis|去趋势波动分析]]
* [[Nonlinear mixed-effects model|非线性混合效应模型]]建模
* [[Dynamic time warping|动态时间扭曲]]<ref name="Sakoe 1978">{{cite journal |last1=Sakoe |first1=H. |last2=Chiba |first2=S. |title=Dynamic programming algorithm optimization for spoken word recognition |journal=IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing |date=February 1978 |volume=26 |issue=1 |pages=43–49 |doi=10.1109/TASSP.1978.1163055 |s2cid=17900407 }}</ref>
* [[Dynamic Bayesian network|动态贝叶斯网络]]
* [[Time-frequency representation|时频分析技术：]]

** [[Fast Fourier transform|快速傅立叶变换]]
** [[Continuous wavelet transform|连续小波变换]]
** [[Short-time Fourier transform|短时傅立叶变换]]
** [[Chirplet transform|奇普莱特变换]]
** [[Fractional Fourier transform|分数傅立叶变换]]

* [[Chaos theory|混沌分析]]
** [[Correlation dimension|相关维数]]
** [[Recurrence plot|复现图]]
** [[Recurrence quantification analysis|复现量化分析]]
** [[Lyapunov exponent|李雅普诺夫指数]]
** [[Entropy encoding|熵编码]]

===测量===
用于时间序列[[classification (machine learning)|分类]]或[[regression analysis|回归分析]]的时间序列度量或[[features (pattern recognition)|特征]]：<ref>{{cite journal |last1=Mormann |first1=Florian |last2=Andrzejak |first2=Ralph G. |last3=Elger |first3=Christian E. |last4=Lehnertz |first4=Klaus |title=Seizure prediction: the long and winding road |journal=[[Brain (journal)|Brain]] |year=2007 |volume=130 |issue=2 |pages=314–333 |doi=10.1093/brain/awl241 |pmid=17008335|doi-access=free }}</ref>

* '''单变量线性度量'''
** [[Moment (mathematics)|数学中的矩]]
** [[Spectral band power|频谱带能量]]
** [[Spectral edge frequency|频谱边缘频率]]
** 累积的[[energy (signal processing)|信号处理能量]]
** [[autocorrelation|自相关]]函数的特性
** [[Hjorth parameters|霍斯特参数]]
** [[Fast Fourier transform|快速傅立叶变换（FFT）]]参数
** [[Autoregressive model|自回归模型]]参数
** [[Mann–Kendall test|曼-肯德尔检验]]
* '''单变量非线性度量'''
** 基于[[correlation|相关]]总和的度量
** [[Correlation dimension|相关维数]]
** [[Correlation integral|相关积分]]
** [[Correlation density|相关密度]]
** [[Correlation entropy|相关熵]]
** [[Approximate entropy|近似熵]]<ref>{{cite web |last1=Land |first1=Bruce |last2=Elias |first2=Damian |title=Measuring the 'Complexity' of a time series |url=http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/PROJECTS/Complexity/ }}</ref>
** [[Sample entropy|样本熵]]
** {{iw2|Fourier entropy||uk|Ентропія Фур'є}}
** 小波熵
** 分散熵
** 波动分散熵
** [[Rényi entropy|瑞尼熵]]
** 高阶方法
** [[Marginal predictability|边际可预测性]]
** [[Dynamical similarity|动态相似性]]指数
** [[State space|状态空间]]差异度量
** [[Lyapunov exponent|李雅普诺夫指数]]
** 置换方法
** [[Local flow|局部流]]
* '''其他单变量度量'''
** [[Algorithmic information theory|算法复杂性]]
** [[Kolmogorov complexity|柯尔莫哥洛夫复杂性]]估计
** [[Hidden Markov Model|隐马尔可夫模型]]状态
** [[Rough path#Signature|粗糙路径签名]]<ref>{{cite preprint |arxiv=1603.03788 |last1=Chevyrev |first1=Ilya |last2=Kormilitzin |first2=Andrey |title=A Primer on the Signature Method in Machine Learning |date=2016 }}</ref>
** 代理时间序列和代理校正
** 复现损失（非平稳程度）
* '''双变量线性度量'''
** 最大线性[[cross-correlation|互相关]]
** 线性[[Coherence (signal processing)|相干性]]
* '''双变量非线性度量'''
** 非线性相互依赖
** 动态牵制（物理学）
** [[phase synchronization|相位同步]]度量
** [[phase locking|相位锁定]]度量
* '''相似性度量''':<ref>{{cite book |doi=10.1109/IEMBS.2003.1280532 |chapter=Similarity measures for automated comparison of in silico and in vitro experimental results |title=Proceedings of the 25th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society (IEEE Cat. No.03CH37439) |date=2003 |last1=Ropella |first1=G.E.P. |last2=Nag |first2=D.A. |last3=Hunt |first3=C.A. |pages=2933–2936 |isbn=978-0-7803-7789-9 |s2cid=17798157 }}</ref>
** [[交叉相关]]
** [[动态时间规整]]<ref name="Sakoe 1978"/>
** [[隐马尔可夫模型]]
** [[编辑距离]]
** [[总相关性]]
** [[Newey–West 估计器]]
** [[Prais–Winsten 估计|Prais–Winsten 变换]]
** 作为可度量空间中的向量的数据
*** [[闵可夫斯基距离]]
*** [[马哈拉诺比斯距离]]
** 作为具有包络的时间序列的数据
*** 全局 [[标准差]]
*** 局部 [[标准差]]
*** 加窗 [[标准差]]
** 被解释为随机序列的数据
*** [[皮尔逊积矩相关系数]]
*** [[斯皮尔曼等级相关系数]]
** 被解释为[[概率分布]]函数的数据
*** [[科尔莫哥洛夫–斯米尔诺夫检验]]
*** [[克拉美尔-冯·米塞斯准则]]

==可视化==
时间序列可以通过两类图表进行可视化：重叠图表和分离图表。重叠图表在同一布局上显示所有时间序列，而分离图表则在不同的布局上展示它们（但为了比较目的进行对齐）<ref>{{cite web|last1=Tominski|first1=Christian|last2= Aigner|first2=Wolfgang|title=The TimeViz Browser:A Visual Survey of Visualization Techniques for Time-Oriented Data|url=http://survey.timeviz.net/|access-date=1 June 2014}}</ref>

===重叠图表===
* [[编织图]]s
* 线图
* 斜率图
* {{iw2|GapChart||fr}}

===分离图表===
* [[地平线图|地平线图]]
* 缩减线图（小倍数）
* 轮廓图
* 圆形轮廓图

==See also== 
{{Columns-list|colwidth=30em|
* [[Anomaly time series]]
* [[Chirp]]
* [[Decomposition of time series]]
* [[Detrended fluctuation analysis]]
* [[Digital signal processing]]
* [[Distributed lag]]
* [[Estimation theory]]
* [[Forecasting]]
* [[Frequency spectrum]]
* [[Hurst exponent]]
* [[Least-squares spectral analysis]]
* [[Monte Carlo method]]
* [[Panel analysis]]
* [[Random walk]]
* [[Scaled correlation]]
* [[Seasonal adjustment]]
* [[Sequence analysis]]
* [[Signal processing]]
* [[Time series database]] (TSDB)
* [[Trend estimation]]
* [[Unevenly spaced time series]]
  }}

==引用==
{{Reflist|2}}

==延伸阅读==
* {{Cite journal
  |title = 25 Tears of Time Series Forecasting
  |first1 = Jan G.
  |last1 = De Gooijer
  |first2 = Rob J.
  |last2 = Hyndman
  |author2-link = Rob J. Hyndman
  |journal = International Journal of Forecasting
  |date = 2006
  |pages = 443–473
  |volume = 22
  |series = Twenty Five Years of Forecasting
  |issue = 3
  |doi = 10.1016/j.ijforecast.2006.01.001
  |citeseerx = 10.1.1.154.9227
  |s2cid = 14996235
  }}
* {{Citation
  | author-link = George E. P. Box
  | last1 = Box | first1 = George
  | last2 = Jenkins   | first2 = Gwilym
  | title = Time Series Analysis: forecasting and control, rev. ed.
  | publisher = Holden-Day
  | location = Oakland, California
  | year = 1976
  }}
* [[James Durbin|Durbin J.]], Koopman S.J. (2001), ''Time Series Analysis by State Space Methods'', [[Oxford University Press]].
* {{Citation
  | last = Gershenfeld | first =  Neil
  | year = 2000
  | title = The Nature of Mathematical Modeling
  | isbn = 978-0-521-57095-4
  | publisher = [[Cambridge University Press]]
  | oclc = 174825352
  }}
* {{Citation
  | author-link = James D. Hamilton
  | last = Hamilton | first =  James
  | year = 1994
  | title = Time Series Analysis
  | isbn = 978-0-691-04289-3
  | publisher = [[Princeton University Press]]
  }}
* [[Maurice Priestley|Priestley, M. B.]] (1981), ''Spectral Analysis and Time Series'', [[Academic Press]]. {{ISBN|978-0-12-564901-8}}
* {{Citation | last = Shasha | first = D. | title = High Performance Discovery in Time Series | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | year = 2004 | isbn = 978-0-387-00857-8 }}
* Shumway R. H., Stoffer D. S. (2017), ''Time Series Analysis and its Applications: With R Examples (ed. 4)'', Springer, {{ISBN|978-3-319-52451-1}}
* Weigend A. S., Gershenfeld N. A. (Eds.) (1994), ''Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past''. Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis (Santa Fe, May 1992), [[Addison-Wesley]].
* [[Norbert Wiener|Wiener, N.]] (1949), ''Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series'', [[MIT Press]].
* Woodward, W. A., Gray, H. L. & Elliott, A. C. (2012), ''Applied Time Series Analysis'', [[CRC Press]].
* {{cite book|last1=Auffarth|first1=Ben|year=2021|title= Machine Learning for Time-Series with Python: Forecast, predict, and detect anomalies with state-of-the-art machine learning methods|publisher=Packt Publishing|edition=1st|isbn=978-1801819626|url=https://www.packtpub.com/product/machine-learning-for-time-series-with-python/9781801819626|access-date=5 November 2021}}

==外部链接==
{{Commons category}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc4.htm Introduction to Time series Analysis (Engineering Statistics Handbook)] — A practical guide to Time series analysis.

{{Statistics}}
{{Portal bar|Mathematics}}

{{DEFAULTSORT:Time Series}}
[[Category:Time series| ]]
[[Category:Statistical data types]]
[[Category:Mathematical and quantitative methods (economics)]]
[[Category:Machine learning]]
[[Category:Mathematics in medicine]]