数学形态学

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一种形状(蓝色)及其通过菱形结构元素进行的形态学膨胀(绿色)和侵蚀(黄色)。

数学形态学MM)是一种基于集合论格理论拓扑学随机函数几何结构分析和处理的理论与技术。MM最常应用于数字图像,但也可以用于表面网格固体以及其他许多空间结构。

拓扑几何 连续空间概念,如大小、形状凸性连通性测地距离,是由MM在连续和离散空间中引入的。MM也是形态学图像处理的基础,包含一系列根据上述特征转换图像的运算符。

基本的形态学运算符包括侵蚀膨胀开运算闭运算

MM最初是为二值图像开发的,后来扩展到灰度 函数和图像。随后对完备格的概括今天被广泛接受为MM的理论基础。

历史

1964年,Georges MatheronJean Serra法国巴黎矿业学校的合作研究中开发了数学形态学。Matheron指导了Serra的博士论文,专注于从薄横截面中量化矿物特性,这项工作导致了实践方法的创新以及积分几何拓扑学的理论进步。

1968年,数学形态学中心由巴黎矿业学校在Fontainebleau,法国成立,由Matheron和Serra领导。

在1960年代剩余时间和大部分1970年代,MM主要处理二值图像,将其视为集合,并产生了大量二元运算符和技术:击中或错过变换膨胀侵蚀开运算闭运算粒度测量变薄拓扑骨架终极侵蚀条件平分线等。还开发了基于新型图像模型的随机方法。在那个时期,大部分工作都是在Fontainebleau进行的。

从1970年代中期到1980年代中期,MM也被推广到灰度函数和图像。除了将主要概念(如膨胀、侵蚀等)扩展到函数外,这种推广还产生了新的运算符,如形态梯度顶帽变换分水岭(MM的主要分割方法)。

在1980年代和1990年代,MM获得了更广泛的认可,因为几个国家的研究中心开始采用和研究这种方法。MM开始应用于大量成像问题和应用,特别是在非线性滤波噪声图像领域。

1986年,Serra进一步将MM推广到基于完备格的理论框架。这种推广为理论带来了灵活性,使其能够应用于更多的结构,包括彩色图像、视频、网格等。与此同时,Matheron和Serra还基于新的格框架,为形态学过滤制定了理论。

1990年代和2000年代还看到了进一步的理论进展,包括连接水平调整的概念。

1993年,第一届国际数学形态学研讨会(ISMM)在西班牙 巴塞罗那举行。此后,ISMM每2-3年组织一次:Fontainebleau法国(1994年);亚特兰大美国(1996年);阿姆斯特丹荷兰(1998年);帕洛阿尔托加州美国(2000年);悉尼澳大利亚(2002年);巴黎法国(2005年);里约热内卢巴西(2007年);荷兰 格罗宁根(2009年);Intra (韦尔巴尼亚),意大利(2011年);乌普萨拉,瑞典(2013年);雷克雅未克,冰岛(2015年);以及Fontainebleau法国(2017年)。

参考文献

二元形态学

在二元形态学中,图像被视为欧几里得空间 [math]\mathbb{R}^d[/math] 或整数网格 [math]\mathbb{Z}^d[/math]的子集,其中d是某个维度。

结构元素

二元形态学的基本思想是用一个简单的、预定义的形状探测图像,从中得出这个形状如何适应或不适应图像中的形状的结论。这个简单的“探针”被称为结构元素,它本身是一个二值图像(即空间或网格的子集)。

以下是一些广泛使用的结构元素(由B表示)的示例:

  • 设定 [math]E = \mathbb{R}^2[/math];B 是一个以原点为中心,半径为r的开放圆盘。
  • 设定 [math]E = \mathbb{Z}^2[/math];B 是一个3 × 3的正方形,即B = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}。
  • 设定 [math]E = \mathbb{Z}^2[/math];B 是由B = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}给出的“十字”。

基本操作

基本操作是与明可夫斯基加法密切相关的位移不变(平移不变)操作。

E是欧几里得空间或整数网格,AE中的二值图像。

腐蚀

文件:Erosion.png
一个圆盘对深蓝色正方形的腐蚀,结果为浅蓝色正方形。

二值图像A被结构元素B腐蚀的定义为

[math]A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\},[/math]

其中BzB通过向量z的平移,即 [math]B_z = \{b + z \mid b \in B\}[/math], [math]\forall z \in E[/math]。

当结构元素B有一个中心(例如,B是一个圆盘或正方形),且该中心位于E的原点时,则可以理解为AB腐蚀为B中心在B移动到A内时所达到的点的轨迹。例如,一个边长为10,中心位于原点的正方形,被同样中心位于原点的半径为2的圆盘腐蚀,其结果是一个边长为6,中心位于原点的正方形。

AB腐蚀也可以表示为 [math]A \ominus B = \bigcap_{b \in B} A_{-b}[/math]。

应用示例:假设我们收到了一份暗色复印的传真。一切看起来像是用渗墨的笔写的。腐蚀过程将使较粗的线变细,并检测出字母“o”内部的空洞。

扩张

文件:Dilation.png
一个圆盘对深蓝色正方形的扩张,结果为圆角的浅蓝色正方形。

A被结构元素B扩张的定义为

[math]A \oplus B = \bigcup_{b \in B} A_b.[/math]

扩张是可交换的,也可表示为 [math]A \oplus B = B \oplus A = \bigcup_{a \in A} B_a[/math]。

如果B的中心位于原点,如前所述,则可以理解为AB扩张为当B的中心在A内移动时,B覆盖的点的轨迹。在上述例子中,边长为10的正方形被半径为2的圆盘扩张,其结果是一个边长为14,圆角半径为2,中心位于原点的正方形。

扩张也可以通过 [math]A \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A \neq \varnothing\}[/math] 获得,其中Bs表示B对称体,即 [math]B^s = \{x \in E \mid -x \in B\}[/math]。

应用示例:扩张是腐蚀的对偶操作。轻微绘制的图形在“扩张”时变粗。最简单的描述方式是想象同一传真/文本是用更粗的笔写的。

开运算

文件:Opening.png
一个圆盘对深蓝色正方形的开运算,结果为圆角的浅蓝色正方形。

AB开运算是通过先对A进行B的腐蚀,然后对结果图像进行B的扩张得到的:

[math]A \circ B = (A \ominus B) \oplus B.[/math]

开运算也可以表示为 [math]A \circ B = \bigcup_{B_x \subseteq A} B_x[/math],意味着它是结构元素B在图像A内部的平移轨迹。在边长为10的正方形和半径为2的圆盘作为结构元素的情况下,开运算是一个边长为10,角半径为2的圆角正方形。

应用示例:假设有人在不吸墨的纸上写了一张便条,写作看起来好像到处长着细小的毛根。开运算本质上去除了外部的细小“毛线”泄漏,并恢复了文本。副作用是它使事物变圆。尖锐的边缘开始消失。

闭运算

文件:Closing.png
一个圆盘对深蓝色形状(两个正方形的并集)的闭运算,结果为深蓝色形状和浅蓝色区域的并集。

AB闭运算是通过先对A进行B的扩张,然后对结果结构进行B的腐蚀得到的:

[math]A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B.[/math]

闭运算也可以通过 [math]A \bullet B = (A^c \circ B^s)^c[/math] 获得,其中Xc表示X相对于E补集(即 [math]X^c = \{x \in E \mid x \notin X\}[/math])。上述意味着闭运算是结构元素的对称体外部图像A的平移轨迹的补集。

基本运算符的属性

以下是基本二元形态学运算符(膨胀、腐蚀、开运算和闭运算)的一些属性:

  • 它们具有平移不变性
  • 它们是递增的,即,如果[math]A\subseteq C[/math],那么[math]A\oplus B \subseteq C\oplus B[/math],以及[math]A\ominus B \subseteq C\ominus B[/math]等。
  • 膨胀运算是可交换的:[math]A\oplus B = B\oplus A[/math]。
  • 如果集合E的原点属于结构元素B,则[math]A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B[/math]。
  • 膨胀运算是结合的,即,[math](A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)[/math]。此外,腐蚀运算满足[math](A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)[/math]。
  • 腐蚀和膨胀运算满足对偶性[math]A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}[/math]。
  • 开运算和闭运算满足对偶性[math]A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}[/math]。
  • 膨胀运算是对集合并分配
  • 腐蚀运算是对集合交分配
  • 膨胀运算是腐蚀运算的伪逆,反之亦然,具体来说:[math]A\subseteq (C\ominus B)[/math]当且仅当[math](A\oplus B)\subseteq C[/math]。
  • 开运算和闭运算是幂等的
  • 开运算是反扩张的,即,[math]A\circ B\subseteq A[/math],而闭运算是扩张的,即,[math]A\subseteq A\bullet B[/math]。

其他运算符和工具

灰度形态学

灰度形态学中,图像是将欧几里得空间或网格E映射到[math]\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}[/math]的函数,其中[math]\mathbb{R}[/math]是实数集合,[math]\infty[/math]是比任何实数都大的元素,而[math]-\infty[/math]是比任何实数都小的元素。

灰度结构元素也是同样格式的函数,称为"结构函数"。

f(x)表示图像,b(x)表示结构函数,B表示g的支持集,f通过b的灰度膨胀定义为

[math](f \oplus b)(x) = \sup_{y \in B}[f(y) + b(x - y)],[/math]

其中"sup"表示上确界

同样地,f通过b的腐蚀定义为

[math](f \ominus b)(x) = \inf_{y \in B}[f(y) - b(y - x)],[/math]

其中"inf"表示下确界

就像在二值形态学中一样,开运算和闭运算分别由

[math]f \circ b = (f \ominus b) \oplus b,[/math]
[math]f \bullet b = (f \oplus b) \ominus b.[/math]给出。

平面结构函数

在形态学应用中常用平面结构元素。平面结构函数是形式为b(x)的函数

[math]b(x) = \begin{cases} 0, & x \in B, \\ -\infty & \text{otherwise}, \end{cases}[/math]

其中[math]B \subseteq E[/math]。

在这种情况下,膨胀和腐蚀被大大简化,分别由

[math](f \oplus b)(x) = \sup_{z \in B^s} f(x + z),[/math]
[math](f \ominus b)(x) = \inf_{z \in B} f(x + z).[/math]给出。

在有界、离散的情况下(E是网格且B是有界的),上确界下确界运算符可以被最大值最小值替换。因此,膨胀和腐蚀是顺序统计过滤器的特殊情况,膨胀返回移动窗口(结构函数支持B的对称部分)内的最大值,而腐蚀返回移动窗口B内的最小值。

在平面结构元素的情况下,形态学运算符仅依赖于像素值的相对顺序,而不论其数值,因此特别适合处理二值图像灰度图像,其光传输函数未知。

其他运算符和工具

通过组合这些运算符,可以获得许多图像处理任务的算法,如特征检测图像分割图像锐化图像过滤分类。 沿着这条线路,还应该研究Continuous Morphology[1]

完备格上的数学形态学

完备格部分有序集,其中每个子集都有一个下确界和一个上确界。特别地,它包含一个最小元素和一个最大元素(也称为"宇宙")。

伴随(膨胀和侵蚀)

设 [math](L,\leq)[/math] 为一个完备格,其下确界和上确界分别用符号 [math]\wedge[/math] 和 [math]\vee[/math] 表示。其全集和最小元素分别用 U 和 [math]\emptyset[/math] 表示。此外,设 [math]\{ X_{i} \}[/math] 为 L 中元素的集合。

膨胀是任意运算符 [math]\delta\colon L\rightarrow L[/math],其分配到上确界,并保持最小元素不变。即:

  • [math]\bigvee_{i}\delta(X_i)=\delta\left(\bigvee_{i} X_i\right)[/math],
  • [math]\delta(\emptyset)=\emptyset[/math]。

侵蚀是任意运算符 [math]\varepsilon\colon L\rightarrow L[/math],其分配到下确界,并保持全集不变。即:

  • [math]\bigwedge_{i}\varepsilon(X_i)=\varepsilon\left(\bigwedge_{i} X_i\right)[/math],
  • [math]\varepsilon(U)=U[/math]。

膨胀和侵蚀形成伽罗瓦连接。也就是说,对于每个膨胀 [math]\delta[/math],存在唯一的侵蚀 [math]\varepsilon[/math] 满足

[math]X\leq \varepsilon(Y)\Leftrightarrow \delta(X)\leq Y[/math]

对所有的 [math]X,Y\in L[/math] 都成立。

同样地,对于每个侵蚀,也存在唯一的膨胀满足上述联系。

此外,如果两个运算符满足这种联系,则 [math]\delta[/math] 必须是膨胀,而 [math]\varepsilon[/math] 必须是侵蚀。

满足上述联系的侵蚀和膨胀对被称为“伴随”,并且侵蚀被认为是膨胀的伴随侵蚀,反之亦然。

开操作和闭操作

对于每个伴随 [math](\varepsilon,\delta)[/math],形态学开操作 [math]\gamma \colon L \to L[/math] 和形态学闭操作 [math]\phi \colon L \to L[/math] 定义如下:

[math]\gamma = \delta\varepsilon,[/math]
[math]\phi = \varepsilon\delta.[/math]

形态学开操作和闭操作是代数开操作(简称开操作)和代数闭操作(简称闭操作)的特例。代数开操作是 L 中的运算符,它们是幂等的、单调递增的,并且是反广义的。代数闭操作是 L 中的运算符,它们是幂等的、单调递增的,并且是广义的。

特定情形

二值形态学是格形态学的一个特例,其中 LE(欧几里得空间或网格)的幂集,即 LE 的所有子集的集合,而 [math]\leq[/math] 是集合包含。在这种情况下,下确界是集合交集,上确界是集合并集

类似地,灰度形态学是另一个特例,其中 L 是将 E 映射到 [math]\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}[/math] 的函数集,而 [math]\leq[/math]、[math]\vee[/math] 和 [math]\wedge[/math] 分别是逐点顺序、上确界和下确界。也就是说,如果 fgL 中的函数,则 [math]f\leq g[/math] 当且仅当 [math]f(x)\leq g(x),\forall x\in E[/math];下确界 [math]f\wedge g[/math] 由 [math](f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)[/math] 给出;上确界 [math]f\vee g[/math] 由 [math](f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)[/math] 给出。

另行参见

引用

  1. G. Sapiro, R. Kimmel, D. Shaked, B. Kimia, and A. M. Bruckstein. 通过曲线演化实现连续尺度形态学. Pattern Recognition, 26(9):1363–1372, 1993.

参考文献

  • 图像分析与数学形态学 作者:让·塞拉(Jean Serra),ISBN 0-12-637240-3 (1982年)
  • 图像分析与数学形态学 第2卷:理论进展 作者:让·塞拉(Jean Serra),ISBN 0-12-637241-1 (1988年)
  • 形态学图像处理导论 作者:爱德华·R·多尔蒂(Edward R. Dougherty),ISBN 0-8194-0845-X (1992年)
  • 形态学图像分析;原理与应用 作者:皮埃尔·索伊尔(Pierre Soille),ISBN 3-540-65671-5 (1999年),第2版(2003年)
  • 数学形态学及其在信号处理中的应用,作者:J. Serra 和 Ph. Salembier(编者),第1届国际数学形态学及其在信号处理中的应用研讨会(ISMM'93)论文集,ISBN 84-7653-271-7 (1993年)
  • 数学形态学及其在图像处理中的应用,作者:J. Serra 和 P. Soille(编者),第2届国际数学形态学研讨会(ISMM'94)论文集,ISBN 0-7923-3093-5 (1994年)
  • 数学形态学及其在图像与信号处理中的应用,作者:亨克·J.A.M. 海曼斯和乔斯·B.T.M. 罗尔丁克(Henk J.A.M. Heijmans and Jos B.T.M. Roerdink)(编者),第4届国际数学形态学研讨会(ISMM'98)论文集,ISBN 0-7923-5133-9 (1998年)
  • 数学形态学:40年,作者:克里斯蒂安·隆斯、劳伦特·纳杰曼和埃蒂安·德肯西埃(Christian Ronse, Laurent Najman, and Etienne Decencière)(编者),ISBN 1-4020-3442-3 (2005年)
  • 数学形态学及其在信号与图像处理中的应用,作者:杰拉尔德·J.F. 巴农、小巴雷拉和乌利塞斯·M. 布拉加-内托(Gerald J.F. Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto)(编者),第8届国际数学形态学研讨会(ISMM'07)论文集,ISBN 978-85-17-00032-4 (2007年)
  • 数学形态学:从理论到应用,作者:劳伦特·纳杰曼和休斯·塔尔博特(Laurent Najman and Hugues Talbot)(编者)。ISTE-Wiley。ISBN 978-1-84821-215-2。(520页) 2010年6月

外部链接