G检验 - 版本历史

2024年1月24日 (三) 07:31 RainW

2024-01-24T07:31:55Z

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	''G''-检验统计量与理论分布与实际分布之间的[[Kullback–Leibler divergence\|库尔巴克-莱布勒散度]]成正比：		''G''-检验统计量与理论分布与实际分布之间的[[Kullback–Leibler divergence\|库尔巴克-莱布勒散度]]成正比：

	:[math]		[math]\begin{aligned} G & =2 \sum_{i} O_{i} \cdot \ln \left(\frac{O_{i}}{E_{i}}\right)=2 N \sum_{i} o_{i} \cdot \ln \left(\frac{o_{i}}{e_{i}}\right) \\ & =2 N D_{\mathrm{KL}}(o \\| e)\end{aligned}[/math]
	\begin{~~align~~}
	G &= 2\sum_{i} {O_{i} \cdot \ln\left(\frac{~~O_i~~}{~~E_i~~}\right)}
	= 2 N \sum_{i} {~~o_i~~ \cdot \ln\left(\frac{~~o_i~~}{~~e_i~~}\right)} \\
	&= 2 N \, D_{\mathrm{KL}}(o\\|e),
	\end{~~align~~}[/math]

	其中''N''是观测总数，[math]o_i[/math] 和 [math]e_i[/math] 分别是实际和理论频率。		其中''N''是观测总数，[math]o_i[/math] 和 [math]e_i[/math] 分别是实际和理论频率。

2024年1月24日 (三) 07:28 RainW

2024-01-24T07:28:22Z

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第34行：		第34行：
	[math] G = 2\sum_{i} {O_{i} \cdot \ln\left(\frac{O_i}{E_i}\right)}, [/math]		[math] G = 2\sum_{i} {O_{i} \cdot \ln\left(\frac{O_i}{E_i}\right)}, [/math]

	其中 [math ~~display="inline"~~]O_i \geq 0[/math] 是某个单元格中的观测计数，[math ~~display="inline"~~]E_i > 0[/math] 是在[[null hypothesis]]下的预期计数，[math ~~display="inline"~~]\ln[/math] 表示[[natural logarithm]]，求和是针对所有非空单元格。此外，总观测计数应等于总预期计数：[math]\sum_i O_i = \sum_i E_i = N[/math]其中 [math ~~display="inline"~~]N[/math] 是观测总数。		其中 [math]O_i \geq 0[/math] 是某个单元格中的观测计数，[math]E_i > 0[/math] 是在[[null hypothesis]]下的预期计数，[math]\ln[/math] 表示[[natural logarithm]]，求和是针对所有非空单元格。此外，总观测计数应等于总预期计数：[math]\sum_i O_i = \sum_i E_i = N[/math]其中 [math]N[/math] 是观测总数。

	===推导===		===推导===
	我们可以从[[Likelihood-ratio test\|对数似然比检验]]中推导出''G''检验的值，其中底层模型为多项式模型。		我们可以从[[Likelihood-ratio test\|对数似然比检验]]中推导出''G''检验的值，其中底层模型为多项式模型。

	假设我们有一个样本 [math ~~display="inline"~~]x = (x_1, \ldots, x_m)[/math]，其中每个 [math ~~display="inline"~~]x_i[/math] 是观测到的类型 [math ~~display="inline"~~]i[/math] 物体的次数。此外，让 [math ~~display="inline"~~]n = \sum_{i=1}^m x_i[/math] 是观测到的物体总数。如果我们假设底层模型是多项式的，那么测试统计量定义为[math]\ln \left( \frac{L(\tilde{\theta}\|x)}{L(\hat{\theta}\|x)} \right)		假设我们有一个样本 [math]x = (x_1, \ldots, x_m)[/math]，其中每个 [math]x_i[/math] 是观测到的类型 [math]i[/math] 物体的次数。此外，让 [math]n = \sum_{i=1}^m x_i[/math] 是观测到的物体总数。如果我们假设底层模型是多项式的，那么测试统计量定义为[math]\ln \left( \frac{L(\tilde{\theta}\|x)}{L(\hat{\theta}\|x)} \right)
	= \ln \left( \frac{\prod_{i=1}^m \tilde{\theta}_i^{x_i}}{\prod_{i=1}^m \hat{\theta}_i^{x_i}} \right)[/math]其中 [math ~~display="inline"~~]\tilde{\theta}[/math] 是零假设，[math]\hat{\theta}[/math] 是给定数据的[[maximum likelihood estimate]] (MLE)。回想一下，对于多项式模型，给定一些数据的 [math ~~display="inline"~~]\hat{\theta}_i[/math] 的MLE定义为[math]\hat{\theta}_i = \frac{x_i}{n}[/math]此外，我们可以将每个零假设参数 [math]\tilde{\theta}_i[/math] 表示为[math]\tilde{\theta}_i = \frac{e_i}{n}[/math]因此，通过替换对数似然比中的 [math ~~display="inline"~~]\tilde{\theta}[/math] 和 [math ~~display="inline"~~]\hat{\theta}[/math] 的表示，方程简化为[math]\begin{align}		= \ln \left( \frac{\prod_{i=1}^m \tilde{\theta}_i^{x_i}}{\prod_{i=1}^m \hat{\theta}_i^{x_i}} \right)[/math]其中 [math]\tilde{\theta}[/math] 是零假设，[math]\hat{\theta}[/math] 是给定数据的[[maximum likelihood estimate]] (MLE)。回想一下，对于多项式模型，给定一些数据的 [math]\hat{\theta}_i[/math] 的MLE定义为[math]\hat{\theta}_i = \frac{x_i}{n}[/math]此外，我们可以将每个零假设参数 [math]\tilde{\theta}_i[/math] 表示为[math]\tilde{\theta}_i = \frac{e_i}{n}[/math]因此，通过替换对数似然比中的 [math]\tilde{\theta}[/math] 和 [math]\hat{\theta}[/math] 的表示，方程简化为[math]\begin{align}
	\ln \left( \frac{L(\tilde{\theta}\|x)}{L(\hat{\theta}\|x)} \right)		\ln \left( \frac{L(\tilde{\theta}\|x)}{L(\hat{\theta}\|x)} \right)
	&= \ln \prod_{i=1}^m \left(\frac{e_i}{x_i}\right)^{x_i} \\		&= \ln \prod_{i=1}^m \left(\frac{e_i}{x_i}\right)^{x_i} \\
	&= \sum_{i=1}^m x_i \ln\left(\frac{e_i}{x_i}\right) \\		&= \sum_{i=1}^m x_i \ln\left(\frac{e_i}{x_i}\right) \\
	\end{align}[/math]将变量 [math ~~display="inline"~~]e_i[/math] 重命名为 [math ~~display="inline"~~]E_i[/math]，将 [math ~~display="inline"~~]x_i[/math] 重命名为 [math ~~display="inline"~~]O_i[/math]。最后，乘以一个因子 [math ~~display="inline"~~]-2[/math]（用于使G检验公式[[#Relation to the chi-squared test\|与皮尔逊卡方检验公式渐近等价]]），得到以下形式		\end{align}[/math]将变量 [math]e_i[/math] 重命名为 [math]E_i[/math]，将 [math]x_i[/math] 重命名为 [math]O_i[/math]。最后，乘以一个因子 [math]-2[/math]（用于使G检验公式[[#Relation to the chi-squared test\|与皮尔逊卡方检验公式渐近等价]]），得到以下形式

	[math]\begin{~~alignat~~}~~{2}~~		[math]\begin{aligned} G & =-2 \sum_{i=1}^{m} O_{i} \ln \left(\frac{E_{i}}{O_{i}}\right) \\ & =2 \sum_{i=1}^{m} O_{i} \ln \left(\frac{O_{i}}{E_{i}}\right)\end{aligned}[/math]
	G & = ~~& \;~~ -2 \sum_{i=1}^m ~~O_i~~ \ln\left(\frac{~~E_i~~}{~~O_i~~}\right) \\
	& = & 2 \sum_{i=1}^m ~~O_i~~ \ln\left(\frac{~~O_i~~}{~~E_i~~}\right)
	\end{~~alignat~~}[/math]

	直观上，可以将 [math]~ O_i ~[/math] 视为连续的并趋近于零，在这种情况下，[math]~ O_i \ln O_i \to 0 ~,[/math] 并且具有零观测的项可以简单地被丢弃。然而，每个单元格中的''预期''计数必须严格大于零（[math]~ E_i > 0 ~ \forall \, i ~[/math]），才能应用该方法。		直观上，可以将 [math]~ O_i ~[/math] 视为连续的并趋近于零，在这种情况下，[math]~ O_i \ln O_i \to 0 ~,[/math] 并且具有零观测的项可以简单地被丢弃。然而，每个单元格中的''预期''计数必须严格大于零（[math]~ E_i > 0 ~ \forall \, i ~[/math]），才能应用该方法。

2024年1月24日 (三) 07:24 RainW

2024-01-24T07:24:11Z

显示更改

2024年1月19日 (五) 11:03 Zeroclanzhang

2024-01-19T11:03:45Z

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2024-01-18T14:08:34Z

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|nodeshortdescription=G检验（G-test）是一个用于假设检验的统计方法，主要用来检验一组或多组观察到的频数分布是否与某个理论分布有显著性差异。它是基于似然比统计量的一种检验，适用于样本量较大的情况。用途：用来检验观察到的数据分布与特定的理论分布之间是否存在显著差异。参数：选择分类变量进行检验。
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