2024年1月21日 (日) 17:05 Zeroclanzhang

2024-01-21T17:05:34Z

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第79行：		第79行：
	==联合分布的边缘分布==		==联合分布的边缘分布==
	针对这个联合分布，其边缘分布如下所示：		针对这个联合分布，其边缘分布如下所示：

	[math]\mathrm{P}(X=x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & \text { for } x=0 \\ \frac{2}{3} & \text { for } x=1\end{array}\right.[/math]		[math]\mathrm{P}(X=x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & \text { for } x=0 \\ \frac{2}{3} & \text { for } x=1\end{array}\right.[/math]

2024年1月21日 (日) 17:04 Zeroclanzhang

2024-01-21T17:04:47Z

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第79行：		第79行：
	==联合分布的边缘分布==		==联合分布的边缘分布==
	针对这个联合分布，其边缘分布如下所示：		针对这个联合分布，其边缘分布如下所示：
	:[math]\mathrm{P}(X=x)=		[math]\mathrm{P}(X=x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & \text { for } x=0 \\ \frac{2}{3} & \text { for } x=1\end{array}\right.[/math]
	\begin{~~cases~~}
	\frac 1 3 & ~~\quad~~ \text{对于 } x=0 \\
	\frac 2 3 & ~~\quad~~ \text{对于 } x=1
	\end{~~cases~~}
	[/math]

	:[math]\mathrm{P}(Y=y)=		[math]\mathrm{P}(Y=y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & \text { for } y=-1 \\ \frac{1}{3} & \text { for } y=0 \\ \frac{1}{3} & \text { for } y=1\end{array}\right.[/math]
	\begin{~~cases~~}
	\frac 1 3 & ~~\quad~~ \text{对于 } y=-1 \\
	\frac 1 3 & ~~\quad~~ \text{对于 } y=0 \\
	\frac 1 3 & ~~\quad~~ \text{对于 } y=1
	\end{~~cases~~}
	[/math]

	这导致了以下期望值和方差：		这导致了以下期望值和方差：
	:[math]\mu_X = \frac 2 3[/math]		[math]\mu_X = \frac 2 3[/math]
	:[math]\mu_Y = 0[/math]		[math]\mu_Y = 0[/math]
	:[math]\sigma_X^2 = \frac 2 9[/math]		[math]\sigma_X^2 = \frac 2 9[/math]
	:[math]\sigma_Y^2 = \frac 2 3[/math]		[math]\sigma_Y^2 = \frac 2 3[/math]

	因此：		因此：

	: [math]		[math]\begin{aligned} \rho_{X, Y} & =\frac{1}{\sigma_{X} \sigma_{Y}} \mathrm{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right] \\ & =\frac{1}{\sigma_{X} \sigma_{Y}} \sum_{x, y}\left(x-\mu_{X}\right)\left(y-\mu_{Y}\right) \mathrm{P}(X=x, Y=y) \\ & =\left(1-\frac{2}{3}\right)(-1-0) \frac{1}{3}+\left(0-\frac{2}{3}\right)(0-0) \frac{1}{3}+\left(1-\frac{2}{3}\right)(1-0) \frac{1}{3}=0\end{aligned}[/math]
	\begin{~~align~~}
	\rho_{X,Y} & = \frac{1}{\~~sigma_X~~ \~~sigma_Y~~} \mathrm{E}[(X-\~~mu_X~~)(Y-\~~mu_Y~~)] \\~~[5pt]~~
	& = \frac{1}{\~~sigma_X~~ \~~sigma_Y~~} \sum_{x,y}{(x-\~~mu_X~~)(y-\~~mu_Y~~) \mathrm{P}(X=x,Y=y)} \\~~[5pt]~~
	& = \left(1-\frac 2 3\right)(-1-0)\frac{1}{3} + \left(0-\frac 2 3\right)(0-0)\frac{1}{3} + \left(1-\frac 2 3\right)(1-0)\frac{1}{3} = 0.
	\end{~~align~~}
	[/math]

	==秩相关系数==		==秩相关系数==

2024年1月21日 (日) 16:55 Zeroclanzhang

2024-01-21T16:55:49Z

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第257行：		第257行：

	{{Statistics \|相关分析}}		{{Statistics \|相关分析}}
	~~{{Authority control}}~~

	{{DEFAULTSORT:Correlation And Dependence}}		{{DEFAULTSORT:Correlation And Dependence}}

2024年1月21日 (日) 16:44 Zeroclanzhang

2024-01-21T16:44:55Z

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第191行：		第191行：
	[math]\mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}}[/math]		[math]\mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}}[/math]

	其中[math]\mathcal{E}(X)[/math]和[math]\mathcal{E}(y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。		其中[math]\mathcal{E}(X)[/math]和[math]\mathcal{E}(Y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。

	经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：		经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：

2024年1月21日 (日) 16:44 Zeroclanzhang

2024-01-21T16:44:06Z

←上一版本		2024年1月22日 (一) 00:44的版本
第187行：		第187行：

	==双变量正态分布==		==双变量正态分布==
	如果一对随机变量[math]\ (X,Y)\ [/math]遵循[[双变量正态分布]]，则给定[math]Y[/math]的条件下[math]X[/math]的条件均值[math]\~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}(X \mid Y)[/math]是[math]Y[/math]的线性函数，而给定[math]X[/math]的条件下[math]Y[/math]的条件均值[math]\~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}~~(Y \mid X)~~(Y \mid X)[/math]是[math]X[/math]的线性函数。[math]X[/math]和[math]Y[/math]之间的相关系数[math]\ \rho_{X,Y}\ [/math]，以及[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[边缘分布\|边缘]]均值和方差确定了这种线性关系：		如果一对随机变量[math]\ (X,Y)\ [/math]遵循[[双变量正态分布]]，则给定[math]Y[/math]的条件下[math]X[/math]的条件均值[math]\mathcal{E}(X \mid Y)[/math]是[math]Y[/math]的线性函数，而给定[math]X[/math]的条件下[math]Y[/math]的条件均值[math]\mathcal{E}(Y \mid X)[/math]是[math]X[/math]的线性函数。[math]X[/math]和[math]Y[/math]之间的相关系数[math]\ \rho_{X,Y}\ [/math]，以及[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[边缘分布\|边缘]]均值和方差确定了这种线性关系：

	[math]\mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}}[/math]		[math]\mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}}[/math]

	其中[math]\~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}(X)[/math]和[math]\~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}(Y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。		其中[math]\mathcal{E}(X)[/math]和[math]\mathcal{E}(y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。

	经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：		经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：

2024年1月21日 (日) 16:39 Zeroclanzhang

2024-01-21T16:39:45Z

←上一版本		2024年1月22日 (一) 00:39的版本
第187行：		第187行：

	==双变量正态分布==		==双变量正态分布==
	如果一对随机变量[math](X,Y)[/math]遵循[[双变量正态分布]]，则给定[math]Y[/math]的条件下[math]X[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X \mid Y)[/math]是[math]Y[/math]的线性函数，而给定[math]X[/math]的条件下[math]Y[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y \mid X)[/math]是[math]X[/math]的线性函数。[math]X[/math]和[math]Y[/math]之间的相关系数[math]\rho_{X,Y}[/math]，以及[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[边缘分布\|边缘]]均值和方差确定了这种线性关系：		如果一对随机变量[math]\ (X,Y)\ [/math]遵循[[双变量正态分布]]，则给定[math]Y[/math]的条件下[math]X[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X \mid Y)[/math]是[math]Y[/math]的线性函数，而给定[math]X[/math]的条件下[math]Y[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y \mid X)(Y \mid X)[/math]是[math]X[/math]的线性函数。[math]X[/math]和[math]Y[/math]之间的相关系数[math]\ \rho_{X,Y}\ [/math]，以及[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[边缘分布\|边缘]]均值和方差确定了这种线性关系：

	[math]$ \mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}} $[/math]		[math]\mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}}[/math]

	其中[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X)[/math]和[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。		其中[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X)[/math]和[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。
第195行：		第195行：
	经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：		经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：

	[math]$ \pi(\rho \mid r)=\frac{\Gamma(N)}{\sqrt{2 \pi} \cdot \Gamma\left(N-\frac{1}{2}\right)} \cdot\left(1-r^{2}\right)^{\frac{N-2}{2}} \cdot\left(1-\rho^{2}\right)^{\frac{N-3}{2}} \cdot(1-r \rho)^{-N+\frac{3}{2}} \cdot F_{\text {Нур }}\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2} ; N-\frac{1}{2} ; \frac{1+r \rho}{2}\right) $[/math]		[math]\pi(\rho \mid r)=\frac{\Gamma(N)}{\sqrt{2 \pi} \cdot \Gamma\left(N-\frac{1}{2}\right)} \cdot\left(1-r^{2}\right)^{\frac{N-2}{2}} \cdot\left(1-\rho^{2}\right)^{\frac{N-3}{2}} \cdot(1-r \rho)^{-N+\frac{3}{2}} \cdot F_{\text {Нур }}\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2} ; N-\frac{1}{2} ; \frac{1+r \rho}{2}\right)[/math]

	其中[math]F_\mathsf{Hyp}[/math]是[[高斯超几何函数]]。		其中[math]F_\mathsf{Hyp}[/math]是[[高斯超几何函数]]。

2024年1月21日 (日) 09:04 Zeroclanzhang

2024-01-21T09:04:19Z

←上一版本		2024年1月21日 (日) 17:04的版本
第189行：		第189行：
	如果一对随机变量[math](X,Y)[/math]遵循[[双变量正态分布]]，则给定[math]Y[/math]的条件下[math]X[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X \mid Y)[/math]是[math]Y[/math]的线性函数，而给定[math]X[/math]的条件下[math]Y[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y \mid X)[/math]是[math]X[/math]的线性函数。[math]X[/math]和[math]Y[/math]之间的相关系数[math]\rho_{X,Y}[/math]，以及[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[边缘分布\|边缘]]均值和方差确定了这种线性关系：		如果一对随机变量[math](X,Y)[/math]遵循[[双变量正态分布]]，则给定[math]Y[/math]的条件下[math]X[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X \mid Y)[/math]是[math]Y[/math]的线性函数，而给定[math]X[/math]的条件下[math]Y[/math]的条件均值[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y \mid X)[/math]是[math]X[/math]的线性函数。[math]X[/math]和[math]Y[/math]之间的相关系数[math]\rho_{X,Y}[/math]，以及[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[边缘分布\|边缘]]均值和方差确定了这种线性关系：

	:[math]\~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}(Y \mid X ) = \~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}(Y) + \rho_{X,Y} \cdot \~~sigma_Y~~ \cdot \frac{X-\~~operatorname~~{~~\boldsymbol\mathcal~~ E}(X)}{\~~sigma_X~~},[/math]		[math]$ \mathcal{E}(Y \mid X)=\mathcal{E}(Y)+\rho_{X, Y} \cdot \sigma_{Y} \cdot \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_{X}} $[/math]

	其中[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X)[/math]和[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。		其中[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(X)[/math]和[math]\operatorname{\boldsymbol\mathcal E}(Y)[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的期望值，[math]\sigma_X[/math]和[math]\sigma_Y[/math]分别是[math]X[/math]和[math]Y[/math]的标准差。
第195行：		第195行：
	经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：		经验相关系数[math]r[/math]是相关系数[math]\rho[/math]的[[估计\|估计值]]。对[math]\rho[/math]的分布估计由以下公式给出：

	: [math]\pi ( \rho \mid r ) =		[math]$ \pi(\rho \mid r)=\frac{\Gamma(N)}{\sqrt{2 \pi} \cdot \Gamma\left(N-\frac{1}{2}\right)} \cdot\left(1-r^{2}\right)^{\frac{N-2}{2}} \cdot\left(1-\rho^{2}\right)^{\frac{N-3}{2}} \cdot(1-r \rho)^{-N+\frac{3}{2}} \cdot F_{\text {Нур }}\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2} ; N-\frac{1}{2} ; \frac{1+r \rho}{2}\right) $[/math]
	\frac{\Gamma(N)}{\sqrt{ 2\pi } \cdot
	\Gamma( N - \~~tfrac~~{1}{2})} \cdot
	\~~bigl~~( 1 - r^2 \~~bigr~~)^{\frac{N - 2}{2}} \cdot
	\~~bigl~~( 1 - \rho^2 \~~bigr~~)^{\frac{N - 3}{2}} \cdot
	~~\bigl~~( 1 - r \rho ~~\bigr~~)^{- N + \frac{3}{2}} \cdot F_\~~mathsf~~{~~Hyp~~} \left(\~~tfrac~~{3}{2}, -\~~tfrac~~{1}{2}; N - \~~tfrac~~{1}{2}; \frac{1 + r \rho}{2} \right)[/math]

	其中[math]F_\mathsf{Hyp}[/math]是[[高斯超几何函数]]。		其中[math]F_\mathsf{Hyp}[/math]是[[高斯超几何函数]]。

2024年1月21日 (日) 09:02 Zeroclanzhang

2024-01-21T09:02:00Z

←上一版本		2024年1月21日 (日) 17:02的版本
第46行：		第46行：
	对于一组 [math]n[/math] 次测量的对 [math](X_i,Y_i)[/math]（由 [math]i=1,\ldots,n[/math] 索引），可以使用''样本相关系数''来估计 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 之间的总体皮尔逊相关系数 [math]\rho_{X,Y}[/math]。样本相关系数定义如下：		对于一组 [math]n[/math] 次测量的对 [math](X_i,Y_i)[/math]（由 [math]i=1,\ldots,n[/math] 索引），可以使用''样本相关系数''来估计 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 之间的总体皮尔逊相关系数 [math]\rho_{X,Y}[/math]。样本相关系数定义如下：

	:[math]r_{xy} \~~quad \overset{\underset~~{\~~mathrm~~{def~~}}{~~}}{=} ~~\quad~~ \frac{\~~sum\limits_~~{i=1}^n (~~x_i~~-\bar{x})(~~y_i~~-\bar{y})}{(n-1)~~s_x s_y~~}		[math]$ r_{x y} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{(n-1) s_{x} s_{y}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} $,[/math]
	=\frac{\~~sum\limits_~~{i=1}^n (~~x_i~~-\bar{x})(~~y_i~~-\bar{y})}
	{\sqrt{\~~sum\limits_~~{i=1}^n (~~x_i~~-\bar{x})^2 \~~sum\limits_~~{i=1}^n (~~y_i~~-\bar{y})^2}},[/math]

	其中 [math]\overline{x}[/math] 和 [math]\overline{y}[/math] 分别是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的样本[[arithmetic mean\|算术平均值]]，[math]s_x[/math] 和 [math]s_y[/math] 是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的[[Standard deviation#Corrected sample standard deviation\|校正样本标准差]]。		其中 [math]\overline{x}[/math] 和 [math]\overline{y}[/math] 分别是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的样本[[arithmetic mean\|算术平均值]]，[math]s_x[/math] 和 [math]s_y[/math] 是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的[[Standard deviation#Corrected sample standard deviation\|校正样本标准差]]。

	[math]r_{xy}[/math] 的等效表达式是：		[math]r_{xy}[/math] 的等效表达式是：
	:[math]		[math]$ \begin{aligned} r_{x y} & =\frac{\sum x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{n s_{x}^{\prime} s_{y}^{\prime}} \\ & =\frac{n \sum x_{i} y_{i}-\sum x_{i} \sum y_{i}}{\sqrt{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}} \sqrt{n \sum y_{i}^{2}-\left(\sum y_{i}\right)^{2}}} .\end{aligned} $[/math]
	\begin{~~align~~}
	r_{xy} &=\frac{\sum ~~x_iy_i~~-n \bar{x} \bar{y}}{n ~~s'_x s'_y~~} \\~~[5pt]~~
	&=\frac{n\sum ~~x_iy_i~~-\sum ~~x_i~~\sum ~~y_i~~}{\sqrt{n\sum ~~x_i~~^2-(\sum ~~x_i~~)^2}~\sqrt{n\sum ~~y_i~~^2-(\sum ~~y_i~~)^2}}.
	\end{~~align~~}
	[/math]
	其中 [math]s'_x[/math] 和 [math]s'_y[/math] 分别是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的[[Standard deviation#Uncorrected sample standard deviation\|未校正样本标准差]]。		其中 [math]s'_x[/math] 和 [math]s'_y[/math] 分别是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的[[Standard deviation#Uncorrected sample standard deviation\|未校正样本标准差]]。

2024年1月21日 (日) 08:53 Zeroclanzhang

2024-01-21T08:53:02Z

←上一版本		2024年1月21日 (日) 16:53的版本
第46行：		第46行：
	对于一组 [math]n[/math] 次测量的对 [math](X_i,Y_i)[/math]（由 [math]i=1,\ldots,n[/math] 索引），可以使用''样本相关系数''来估计 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 之间的总体皮尔逊相关系数 [math]\rho_{X,Y}[/math]。样本相关系数定义如下：		对于一组 [math]n[/math] 次测量的对 [math](X_i,Y_i)[/math]（由 [math]i=1,\ldots,n[/math] 索引），可以使用''样本相关系数''来估计 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 之间的总体皮尔逊相关系数 [math]\rho_{X,Y}[/math]。样本相关系数定义如下：

	:[math]		:[math]r_{xy} \quad \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \quad \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1)s_x s_y}
	r_{xy} \quad \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \quad \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1)s_x s_y}
	=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}		=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}
	{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}},		{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}},[/math]
	[/math]

	其中 [math]\overline{x}[/math] 和 [math]\overline{y}[/math] 分别是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的样本[[arithmetic mean\|算术平均值]]，[math]s_x[/math] 和 [math]s_y[/math] 是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的[[Standard deviation#Corrected sample standard deviation\|校正样本标准差]]。		其中 [math]\overline{x}[/math] 和 [math]\overline{y}[/math] 分别是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的样本[[arithmetic mean\|算术平均值]]，[math]s_x[/math] 和 [math]s_y[/math] 是 [math]X[/math] 和 [math]Y[/math] 的[[Standard deviation#Corrected sample standard deviation\|校正样本标准差]]。

2024年1月21日 (日) 08:51 Zeroclanzhang

2024-01-21T08:51:42Z

←上一版本		2024年1月21日 (日) 16:51的版本
第34行：		第34行：
	当两个变量是[[statistical independence\|独立的]]时，皮尔逊相关系数为0，但反之不一定成立，因为相关系数只检测两个变量之间的线性依赖。简单来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们是不相关的；但如果两个随机变量不相关，它们可能是独立的，也可能不是。		当两个变量是[[statistical independence\|独立的]]时，皮尔逊相关系数为0，但反之不一定成立，因为相关系数只检测两个变量之间的线性依赖。简单来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们是不相关的；但如果两个随机变量不相关，它们可能是独立的，也可能不是。

	[math ~~display=block~~]\begin{align}		[math]\begin{align}
	X,Y \text{ 独立} \quad & \Rightarrow \quad \rho_{X,Y} = 0 \quad (X,Y \text{ 不相关})\\		X,Y \text{ 独立} \quad & \Rightarrow \quad \rho_{X,Y} = 0 \quad (X,Y \text{ 不相关})\\
	\rho_{X,Y} = 0 \quad (X,Y \text{ 不相关})\quad & \nRightarrow \quad X,Y \text{ 独立}		\rho_{X,Y} = 0 \quad (X,Y \text{ 不相关})\quad & \nRightarrow \quad X,Y \text{ 独立}
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	皮尔逊相关系数用于表示两个变量之间''线性''关系的强度，但其值通常无法完全刻画它们的关系。<ref>{{cite journal \|first=Babak \|last=Mahdavi Damghani \|year=2012\|title=测量相关性的误导性价值 \|journal=[[Wilmott (magazine)\|Wilmott Magazine]] \|volume=2012 \|issue=1 \|pages=64–73 \|doi=10.1002/wilm.10167\|s2cid=154550363 }}</ref> 特别是，如果给定[math]X[/math]的[math]Y[/math]的[[条件期望\|条件均值]]，记作[math]\operatorname{E}(Y \mid X)[/math]，不是[math]X[/math]的线性函数，那么相关系数将无法完全确定[math]\operatorname{E}(Y \mid X)[/math]的形式。		皮尔逊相关系数用于表示两个变量之间''线性''关系的强度，但其值通常无法完全刻画它们的关系。<ref>{{cite journal \|first=Babak \|last=Mahdavi Damghani \|year=2012\|title=测量相关性的误导性价值 \|journal=[[Wilmott (magazine)\|Wilmott Magazine]] \|volume=2012 \|issue=1 \|pages=64–73 \|doi=10.1002/wilm.10167\|s2cid=154550363 }}</ref> 特别是，如果给定[math]X[/math]的[math]Y[/math]的[[条件期望\|条件均值]]，记作[math]\operatorname{E}(Y \mid X)[/math]，不是[math]X[/math]的线性函数，那么相关系数将无法完全确定[math]\operatorname{E}(Y \mid X)[/math]的形式。

	相邻图片展示了[[Anscombe's quartet]]的[[散点图]]，这是由[[Francis Anscombe]]创建的四对不同变量组成的集合。<ref>{{cite journal \| last=Anscombe \| first=Francis J. \| year=1973 \| title=统计分析中的图形 \| journal=The American Statistician \| volume=27 \| issue=1 \| pages=17–21 \| jstor=2682899 \| doi=10.2307/2682899}}</ref> 这四个[math]y[/math]变量具有相同的平均值（7.5）、方差（4.12）、相关系数（0.816）和回归线（[math ~~display="inline"~~]y=3+0.5x[/math]）。然而，如图所示，这些变量的分布非常不同。第一个（左上角）似乎呈正态分布，并符合人们对两个相关变量在正态性假设下的预期。第二个（右上角）不是正态分布；虽然两个变量之间的明显关系可以观察到，但它不是线性的。在这种情况下，皮尔逊相关系数并未表明存在精确的函数关系：只是表明该关系在多大程度上可以被线性关系近似。在第三种情况（左下角）中，线性关系是完美的，除了一个[[离群值]]，它的影响足以将相关系数从1降低到0.816。最后，第四个例子（右下角）展示了当一个离群值足以产生高相关系数的另一个例子，尽管两个变量之间的关系不是线性的。		相邻图片展示了[[Anscombe's quartet]]的[[散点图]]，这是由[[Francis Anscombe]]创建的四对不同变量组成的集合。<ref>{{cite journal \| last=Anscombe \| first=Francis J. \| year=1973 \| title=统计分析中的图形 \| journal=The American Statistician \| volume=27 \| issue=1 \| pages=17–21 \| jstor=2682899 \| doi=10.2307/2682899}}</ref> 这四个[math]y[/math]变量具有相同的平均值（7.5）、方差（4.12）、相关系数（0.816）和回归线（[math]y=3+0.5x[/math]）。然而，如图所示，这些变量的分布非常不同。第一个（左上角）似乎呈正态分布，并符合人们对两个相关变量在正态性假设下的预期。第二个（右上角）不是正态分布；虽然两个变量之间的明显关系可以观察到，但它不是线性的。在这种情况下，皮尔逊相关系数并未表明存在精确的函数关系：只是表明该关系在多大程度上可以被线性关系近似。在第三种情况（左下角）中，线性关系是完美的，除了一个[[离群值]]，它的影响足以将相关系数从1降低到0.816。最后，第四个例子（右下角）展示了当一个离群值足以产生高相关系数的另一个例子，尽管两个变量之间的关系不是线性的。

	这些例子表明，相关系数作为[[总结统计量]]，不能替代对数据的视觉检查。有时认为这些例子表明皮尔逊相关假设数据遵循[[正态分布]]，但这只是部分正确。<ref name="thirteenways"/> 皮尔逊相关可以准确地计算任何具有有限[[协方差矩阵]]的分布，这包括实际遇到的大多数分布。然而，皮尔逊相关系数（连同样本均值和方差）只是[[充分统计量]]，如果数据来自[[多元正态分布]]。因此，只有当数据来自多元正态分布时，皮尔逊相关系数才能完全刻画变量之间的关系。		这些例子表明，相关系数作为[[总结统计量]]，不能替代对数据的视觉检查。有时认为这些例子表明皮尔逊相关假设数据遵循[[正态分布]]，但这只是部分正确。<ref name="thirteenways"/> 皮尔逊相关可以准确地计算任何具有有限[[协方差矩阵]]的分布，这包括实际遇到的大多数分布。然而，皮尔逊相关系数（连同样本均值和方差）只是[[充分统计量]]，如果数据来自[[多元正态分布]]。因此，只有当数据来自多元正态分布时，皮尔逊相关系数才能完全刻画变量之间的关系。

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2024年1月21日 (日) 17:05 Zeroclanzhang

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