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2024-01-23T08:35:41Z

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{{Short description|同时观测和分析多个结果变量}}
{{redirect|Multivariate analysis|the usage in mathematics|Multivariable calculus}}

'''多元统计'''是[[统计]]的一个子领域，涉及同时观测和分析多个[[outcome variable]]，即''[[multivariate random variable]]s''。多元统计关注于理解多种多元分析形式的不同目的和背景，以及它们之间的关系。多元统计在实际应用中可能涉及多种单变量和多变量分析，以理解变量之间的关系及其对正在研究的问题的相关性。

此外，多元统计还涉及多元[[probability distribution]]s，包括：
* 如何用它们来代表观察到的数据的分布；
* 如何作为[[statistical inference]]的一部分使用它们，特别是当同一分析中有多个不同数量的兴趣点时。

涉及多元数据的某些类型的问题，例如[[simple linear regression]]和[[multiple regression]]，通常不被视为多元统计的特殊情况，因为分析是通过考虑给定其他变量的单个结果变量的（单变量）条件分布来处理的。

==多元分析==
{{see also|Univariate analysis}}

'''多元分析''' ('''MVA''') 基于多元统计的原则。通常，MVA用于处理在每个实验单元上进行多次测量的情况，这些测量之间的关系及其结构非常重要。<ref name=":0">{{Citation|last1=Olkin|first1=I.|title=Multivariate Analysis: Overview|date=2001-01-01|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B0080430767004721|encyclopedia=International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences|pages=10240–10247|editor-last=Smelser|editor-first=Neil J.|publisher=Pergamon|isbn=9780080430768|access-date=2019-09-02|last2=Sampson|first2=A. R.|editor2-last=Baltes|editor2-first=Paul B.}}</ref> MVA的现代重叠分类包括：<ref name=":0" />
* 正常和一般的多元模型和分布理论
* 关系的研究和测量
* 多维区域的概率计算
* 数据结构和模式的探索

多元分析的复杂性在于希望包括基于物理的分析来计算层级“系统-子系统”中变量的效应。通常，希望使用多元分析的研究会因问题的维度而受阻。通过使用[[surrogate model]]s——物理基础代码的高精度近似，这些顾虑通常会得到缓解。由于替代模型采用方程式形式，它们可以非常快速地进行评估。这成为大规模MVA研究的推动者：使用物理基础代码在设计空间进行[[Monte Carlo simulation]]可能很困难，但在评估通常采用[[Response surface methodology|response-surface]]方程形式的替代模型时就变得简单。

===分析类型===
多元分析中使用了许多不同的模型，每种模型都有其特定的分析类型：
# [[Multivariate analysis of variance]]（MANOVA）扩展了[[analysis of variance]]，以覆盖同时分析多个因变量的情况；另见[[Multivariate analysis of covariance]]（MANCOVA）。
# 多元回归试图确定一个公式，描述变量向量中的元素如何同时对其他变量的变化作出反应。对于线性关系，这里的回归分析基于[[general linear model]]的不同形式。有些人认为多元回归与多变量回归不同，但这一点存在争议，且在科学领域并不一致。<ref>{{cite journal | pmc = 3518362 | pmid=23153131 | doi=10.2105/AJPH.2012.300897 | volume=103 | title=Multivariate or multivariable regression? | year=2013 | journal=Am J Public Health | pages=39–40 | last1 = Hidalgo | first1 = B | last2 = Goodman | first2 = M| issue=1 }}</ref>
# [[Principal components analysis]]（PCA）创建了一组包含与原始集相同信息的正交变量。它旋转变异轴，给出一组新的正交轴，按照它们概括变异比例的递减顺序排列。
# [[Factor analysis]] 与PCA类似，但允许用户提取指定数量的合成变量，少于原始集，将剩余未解释的变异作为错误。提取的变量被称为潜在变量或因子；每个因子可能被假设为解释一组观察变量的共变异。
# [[Canonical correlation analysis]] 寻找两组变量之间的线性关系；它是双变量<ref>Unsophisticated analysts of bivariate Gaussian problems may find useful a crude but accurate [http://www.dioi.org/sta.htm#sdsx method] of accurately gauging probability by simply taking the sum ''S'' of the ''N'' residuals' squares, subtracting the sum ''Sm'' at minimum, dividing this difference by ''Sm'', multiplying the result by (''N'' - 2) and taking the inverse anti-ln of half that product.</ref>关联的广义（即规范）版本。
# 冗余分析（RDA）类似于规范关联分析，但允许用户从一组（自变量）变量中派生指定数量的合成变量，尽可能多地解释另一组（因变量）变量中的方差。它是[[Regression analysis|回归]]的多元类比。<ref>{{cite journal|last=Van Den Wollenberg|first=Arnold L.|title=Redundancy analysis an alternative for canonical correlation analysis|journal=Psychometrika|volume=42|issue=2|year=1977|pages=207-219|doi=10.1007/BF02294050}}</ref>
# [[Correspondence analysis]]（CA）或相互平均法，与PCA类似，找到一组合成变量来概括原始集。底层模型假设了记录（案例）之间的卡方差异性。

以下是从英文维基百科翻译的内容，保留了Wiki语义及Wiki语法标记以及Wiki的标记和模板格式，并且遵循了指定的翻译规则：

# [[Canonical correspondence analysis|典范（或“受限”）对应分析]]（CCA）用于总结两组变量的联合变异（类似于冗余分析）；对应分析和多元回归分析的结合。其基础模型假设记录（案例）之间存在卡方差异。
# [[Multidimensional scaling|多维缩放]]包括各种算法，以确定一组合成变量，最好地代表记录之间的成对距离。原始方法是[[principal coordinates analysis|主坐标分析]]（PCoA；基于PCA）。
# [[Discriminant function|判别分析]]或典型变量分析，试图确定一组变量是否可用于区分两个或多个案例组。
# [[Linear discriminant analysis|线性判别分析]]（LDA）从两组正态分布的数据中计算线性预测器，以允许对新观察进行分类。
# [[Cluster Analysis|聚类系统]]将对象分配到组（称为簇）中，以便同一簇中的对象（案例）彼此更相似，与不同簇的对象更不相似。
# [[Recursive partitioning|递归划分]]创建一个决策树，试图根据一个二分的因变量正确分类人口成员。
# [[Artificial neural networks|人工神经网络]]将回归和聚类方法扩展到非线性多元模型。
# [[Statistical graphics|统计图形]]，如旅行、[[Parallel coordinates|平行坐标图]]、散点图矩阵，可用于探索多元数据。
# [[Simultaneous equations model|同时方程模型]]包括多个回归方程，这些方程具有不同的因变量，共同估计。
# [[Vector autoregression|向量自回归]]涉及对各种[[time series|时间序列]]变量及其彼此的滞后值进行同时回归。
# [[Principal response curve|主响应曲线]]分析（PRC）是一种基于RDA的方法，它允许用户通过纠正随时间变化的对照治疗的变化，专注于治疗效果的时间变化。<ref>ter Braak, Cajo J.F. & Šmilauer, Petr (2012). ''Canoco reference manual and user's guide: software for ordination (version 5.0)'', p292. Microcomputer Power, Ithaca, NY.</ref>
# [[Iconography of correlations|相关图标]]包括用图表代替相关矩阵，其中“显著”相关性由实线（正相关）或虚线（负相关）表示。

===处理不完整数据===
在实验获得的数据集中，某些数据点的一些组成部分缺失是非常常见的。与其丢弃整个数据点，更常见的做法是为缺失组件“填充”值，这个过程称为“[[imputation (statistics)|插补]]”。<ref>{{cite book |title=Analysis of Incomplete Multivariate Data |author=J.L. Schafer |publisher=Chapman & Hall/CRC |year=1997 |isbn=978-1-4398-2186-2}}</ref>

==重要概率分布==
在多元分析中使用了一组[[probability distribution|概率分布]]，它们在[[univariate analysis|单变量分析]]中使用的对应分布集合中扮演类似的角色，当[[normal distribution|正态分布]]适用于数据集时。这些多元分布包括：
* [[Multivariate normal distribution|多元正态分布]]
* [[Wishart distribution|Wishart分布]]
* [[Multivariate Student distribution|多元学生t分布]]。
[[Inverse-Wishart distribution|逆Wishart分布]]在[[Bayesian inference|贝叶斯推断]]中很重要，例如在[[Bayesian multivariate linear regression|贝叶斯多元线性回归]]中。此外，[[Hotelling's T-squared distribution|霍特林T平方分布]]是一种多元分布，概括了[[Student's t-distribution|学生t分布]]，用于多元[[Statistical hypothesis testing|假设检验]]。

==历史==
安德森1958年的教科书，''多元统计分析导论''，<ref>[[Theodore Wilbur Anderson|T.W. Anderson]] (1958) ''多元分析导论'', New York: Wiley {{ISBN|0471026409}}; 2e (1984) {{ISBN|0471889873}}; 3e (2003) {{ISBN|0471360910}}</ref> 教育了一代理论家和应用统计学家；安德森的书强调通过[[likelihood ratio test|似然比测试]]和[[Statistical power|功效函数]]的性质进行[[hypothesis testing|假设检验]]：[[admissible decision rule|可接受性]]、[[bias of an estimator|无偏性]]和[[monotonicity|单调性]]。<ref>{{cite journal|doi =10.2307/2289251|title =Review: Contemporary Textbooks on Multivariate Statistical Analysis: A Panoramic Appraisal and Critique|first9 =K. V.|last10 =Kent|first10 =J. T.|last11 =Bibby|first11 =J. M.|last12 =Morrison|first12 =D. F.|last13 =Muirhead|first13 =R. J.|last14 =Press|first14 =S. J.|last15 =Rao|first15 =C. R.|last16 =Roy|first16 =S. N.|last17 =Gnanadesikan|first17 =R.|last18 =Srivastava|first18 =J. N.|last19 =Seber|first19 =G. A. F.|last20 =Srivastava|first20 =M. S.|last21 =Khatri|first21 =C. G.|last22 =Takeuchi|first22 =K.|last23 =Yanai|first23 =H.|last24 =Mukherjee|first24 =B. N.|last9 =Mardia|first8 =A. M.|last8 =Kshirsagar|first7 =M. G.|last7 =Kendall|first6 =R.|last6 =Gnanadesikan|first5 =N. C.|last5 =Giri|first4 =M. L.|last4 =Eaton|first3 =S. F.|last3 =Arnold|first2 =T. W.|last2 =Anderson|last1=Sen|first1=Pranab Kumar|author1-link=Pranab K. Sen|journal=[[Journal of the American Statistical Association]]| volume=81 | issue=394 |date=June 1986|pages=560–564| jstor=2289251 | issn=0162-1459 |display-authors =8}}(第560–561页)</ref><ref>{{cite journal|doi =10.1214/ss/1177013111|title =A Review of Multivariate Analysis|last=Schervish|first=Mark J.| journal=Statistical Science| volume=2|issue=4|date=November 1987|pages=396–413|jstor=2245530|issn =0883-4237|doi-access=free}}
</ref>

多元方差分析（MVA）过去仅在统计理论的背景下进行讨论，这是由于底层数据集的规模和复杂性以及其高计算消耗。随着计算能力的显著增长，MVA现在在数据分析中扮演着越来越重要的角色，并在[[Omics]]领域有广泛应用。

== 应用 ==
* 多元假设检验
* [[Dimensionality reduction|降维]]
* 潜在结构发现
* [[Cluster analysis|聚类分析]]
* 多元回归分析
* [[Statistical classification|分类和鉴别分析]]
* [[Feature selection|变量选择]]
* [[Multidimensional analysis|多维分析]]
* [[Multidimensional scaling|多维缩放]]
* [[Data mining|数据挖掘]]

== 软件和工具 ==
对于多元分析，有大量的软件包和其他工具，包括：
* [[决策链软件|决策链软件(DecisionLinnc)]] 提供了丰富的多元分析节点，是一个整合型、基于工作流（Workflow）的数据科学平台。
* [[JMP (statistical software)|JMP（统计软件）]]
* [[MiniTab|MiniTab]]
* [[OpenOffice.org Calc|Calc]]
* [[PSPP|PSPP]]
* [[R (programming language)|R]]<ref>[https://cran.r-project.org/web/views/Multivariate.html CRAN] 提供了多元数据分析可用的软件包细节</ref>
* [[SAS (software)|SAS（软件）]]
* [[SciPy]] 用于 [[Python (programming language)|Python]]
* [[SPSS|SPSS]]
* [[Stata|Stata]]
* [[STATISTICA|STATISTICA]]
* [[The Unscrambler|The Unscrambler]]
* [[WarpPLS|WarpPLS]]
* [[SmartPLS|SmartPLS]]
* [[MATLAB|MATLAB]]
* [[Eviews|Eviews]]
* [[NCSS (statistical software)|NCSS（统计软件）]] 包括多元分析。
* [http://www.camo.com/rt/Products/Unscrambler/unscrambler.html The Unscrambler® X] 是一种多元分析工具。
* [https://umetrics.com/products/simca SIMCA]
* DataPandit（由 [http://letsexcel.in Let's Excel Analytics Solutions] 提供的免费 SaaS 应用）

==另行参见==
* [[Estimation of covariance matrices]]
* [[List of important publications in statistics#Multivariate analysis|Important publications in multivariate analysis]]
* [[Multivariate testing in marketing]]
* [[Structured data analysis (statistics)]]
* [[Structural equation modeling]]
* [[RV coefficient]]
* [[Bivariate analysis]]
* [[Design of experiments]] (DoE)
* [[Dimensional analysis]]
* [[Exploratory data analysis]]
* [[Ordinary least squares|OLS]]
* [[Partial least squares regression]]
* [[Pattern recognition]]
* [[Principal component analysis]] (PCA)
* [[Regression analysis]]
* [[Soft independent modelling of class analogies]] (SIMCA)
* [[Statistical interference]]
* [[Univariate analysis]]

==引用==
<references/>

==延伸阅读==

* {{cite book|title=Applied Multivariate Statistical Analysis|edition=Sixth|first1=Richard A.|last1=Johnson|first2=Dean W. |last2=Wichern|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-187715-3 |year=2007}}
* {{cite book | title = Multivariate Analysis | publisher= Academic Press | year = 1979 |isbn = 0-12-471252-5 |author1=KV Mardia |author2=JT Kent |author3=JM Bibby |author-link1=Kantilal Mardia}}
* A. Sen, M. Srivastava, ''Regression Analysis — Theory, Methods, and Applications'', Springer-Verlag, Berlin, 2011 (4th printing).
* {{cite book | author=Cook, Swayne|title=Interactive Graphics for Data Analysis|year=2007|url=http://ggobi.org/book/index.html}}
* Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.
* T. W. Anderson, ''An Introduction to Multivariate Statistical Analysis'', Wiley, New York, 1958.
* {{cite book|author1=KV Mardia |author2=JT Kent |author3=JM Bibby |name-list-style=amp | title = Multivariate Analysis. Academic Press | year = 1979 |isbn=978-0124712522}} (M.A. level "likelihood" approach)
* Feinstein, A. R. (1996) ''Multivariable Analysis''. New Haven, CT: Yale University Press.
* Hair, J. F. Jr. (1995) ''Multivariate Data Analysis with Readings'', 4th ed. Prentice-Hall.
* Schafer, J. L. (1997) ''Analysis of Incomplete Multivariate Data''. CRC Press. (Advanced)
* Sharma, S. (1996) ''Applied Multivariate Techniques''. Wiley. (Informal, applied)
* Izenman, Alan J. (2008). Modern Multivariate Statistical Techniques: Regression, Classification, and Manifold Learning. Springer Texts in Statistics. New York: Springer-Verlag. {{ISBN|9780387781884}}.
* {{cite book | title = Handbook of Applied Multivariate Statistics and Mathematical Modeling | publisher= Academic Press | year = 2000 | isbn = 978-0-12-691360-6 | editor1-last = Tinsley | editor1-first = Howard E. A. | editor2-last = Brown | editor2-first = Steven D. | doi = 10.1016/B978-0-12-691360-6.X5000-9 }}

==外部链接==
{{Commons category}}
* [https://archive.today/2012.12.14-194305/http://www2.chass.ncsu.edu/garson/pa765/statnote.htm Statnotes: Topics in Multivariate Analysis, by G. David Garson]
* [http://ordination.okstate.edu/ Mike Palmer: The Ordination Web Page]
* [http://www.insightsnow.com InsightsNow: Makers of ReportsNow, ProfilesNow, and KnowledgeNow]

{{Statistics|analysis|state=collapsed}}
{{Portal bar|Mathematics}}

[[Category:Multivariate statistics| ]]

多元分析 - 版本历史