典型相关分析 - 版本历史

2024年2月25日 (日) 02:46 RainW

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	典型相关分析寻求一系列向量 [math]a_k[/math]（[math]a_k \in\mathbb R^n[/math]）和 [math]b_k[/math]（[math]b_k \in\mathbb R^m[/math]），使得随机变量 [math]a_k^T X[/math] 和 [math]b_k^T Y[/math] 最大化[[correlation\|相关性]] [math]\rho = \operatorname{corr}(a_k^T X, b_k^T Y)[/math]。标量随机变量 [math]U = a_k^T X[/math] 和 [math]V = b_k^T Y[/math] 是'''''第一对典型变量'''''。然后寻找最大化相同相关性的向量，受到它们必须与第一对典型变量不相关的约束；这就得到了'''''第二对典型变量'''''。这个程序可以继续进行直到 [math]\min\{m,n\}[/math] 次。		典型相关分析寻求一系列向量 [math]a_k[/math]（[math]a_k \in\mathbb R^n[/math]）和 [math]b_k[/math]（[math]b_k \in\mathbb R^m[/math]），使得随机变量 [math]a_k^T X[/math] 和 [math]b_k^T Y[/math] 最大化[[correlation\|相关性]] [math]\rho = \operatorname{corr}(a_k^T X, b_k^T Y)[/math]。标量随机变量 [math]U = a_k^T X[/math] 和 [math]V = b_k^T Y[/math] 是'''''第一对典型变量'''''。然后寻找最大化相同相关性的向量，受到它们必须与第一对典型变量不相关的约束；这就得到了'''''第二对典型变量'''''。这个程序可以继续进行直到 [math]\min\{m,n\}[/math] 次。

	: [math](~~a_k~~,~~b_k~~) = \underset{a,b}\operatorname{argmax} \operatorname{corr}(a^T X, b^T Y) \quad~~\text{~~ subject to } \operatorname{cov}(a^T X, ~~a_j~~^T X) = \operatorname{cov}(b^T Y, ~~b_j~~^T Y) = 0 ~~\text{~~ for } j=1, \~~dots~~, k-1[/math]		[math]\left(a_{k}, b_{k}\right)=\underset{a, b}{\operatorname{argmax}} \operatorname{corr}\left(a^{T} X, b^{T} Y\right) \quad subject to \operatorname{cov}\left(a^{T} X, a_{j}^{T} X\right)=\operatorname{cov}\left(b^{T} Y, b_{j}^{T} Y\right)=0 for j=1, \ldots, k-1[/math]

	向量集 [math]a_k, b_k[/math] 被称为'''''典型方向'''''或'''''权重向量'''''或简单地称为'''''权重'''''。'对偶'向量集 [math]\Sigma_{XX}a_k, \Sigma_{YY} b_k[/math] 被称为'''''典型载荷向量'''''或简单地称为'''''载荷'''''；这些通常比权重更容易解释。<ref>{{Cite journal \|last1=Gu \|first1=Fei \|last2=Wu \|first2=Hao \|date=2018-04-01 \|title=具有不变典型载荷的同时典型相关分析 \|url=https://doi.org/10.1007/s41237-017-0042-8 \|journal=行为计量学 \|language=en \|volume=45 \|issue=1 \|pages=111–132 \|doi=10.1007/s41237-017-0042-8 \|issn=1349-6964}}</ref>		向量集 [math]a_k, b_k[/math] 被称为'''''典型方向'''''或'''''权重向量'''''或简单地称为'''''权重'''''。'对偶'向量集 [math]\Sigma_{XX}a_k, \Sigma_{YY} b_k[/math] 被称为'''''典型载荷向量'''''或简单地称为'''''载荷'''''；这些通常比权重更容易解释。<ref>{{Cite journal \|last1=Gu \|first1=Fei \|last2=Wu \|first2=Hao \|date=2018-04-01 \|title=具有不变典型载荷的同时典型相关分析 \|url=https://doi.org/10.1007/s41237-017-0042-8 \|journal=行为计量学 \|language=en \|volume=45 \|issue=1 \|pages=111–132 \|doi=10.1007/s41237-017-0042-8 \|issn=1349-6964}}</ref>
第68行：		第68行：

	[math]\Sigma _{XX} ^{1/2} = V_X D_X^{1/2} V_X^\top，\qquad V_X D_X V_X^\top = \Sigma_{XX}，[/math]		[math]\Sigma _{XX} ^{1/2} = V_X D_X^{1/2} V_X^\top，\qquad V_X D_X V_X^\top = \Sigma_{XX}，[/math]

	和		和

	[math]\Sigma _{YY} ^{1/2} = V_Y D_Y^{1/2} V_Y^\top，\qquad V_Y D_Y V_Y^\top = \Sigma_{YY}。[/math]		[math]\Sigma _{YY} ^{1/2} = V_Y D_Y^{1/2} V_Y^\top，\qquad V_Y D_Y V_Y^\top = \Sigma_{YY}。[/math]

第75行：		第77行：

	根据[[柯西-施瓦茨不等式]]，		根据[[柯西-施瓦茨不等式]]，

	[math]\left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \right) (d) \leq \left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YX} \Sigma _{XX} ^{-1/2} c \right)^{1/2} \left(d^T d \right)^{1/2}，[/math]		[math]\left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \right) (d) \leq \left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YX} \Sigma _{XX} ^{-1/2} c \right)^{1/2} \left(d^T d \right)^{1/2}，[/math]

2024年2月25日 (日) 02:42 RainW

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	典型相关分析寻求一系列向量 [math]a_k[/math]（[math]a_k \in\mathbb R^n[/math]）和 [math]b_k[/math]（[math]b_k \in\mathbb R^m[/math]），使得随机变量 [math]a_k^T X[/math] 和 [math]b_k^T Y[/math] 最大化[[correlation\|相关性]] [math]\rho = \operatorname{corr}(a_k^T X, b_k^T Y)[/math]。标量随机变量 [math]U = a_k^T X[/math] 和 [math]V = b_k^T Y[/math] 是'''''第一对典型变量'''''。然后寻找最大化相同相关性的向量，受到它们必须与第一对典型变量不相关的约束；这就得到了'''''第二对典型变量'''''。这个程序可以继续进行直到 [math]\min\{m,n\}[/math] 次。		典型相关分析寻求一系列向量 [math]a_k[/math]（[math]a_k \in\mathbb R^n[/math]）和 [math]b_k[/math]（[math]b_k \in\mathbb R^m[/math]），使得随机变量 [math]a_k^T X[/math] 和 [math]b_k^T Y[/math] 最大化[[correlation\|相关性]] [math]\rho = \operatorname{corr}(a_k^T X, b_k^T Y)[/math]。标量随机变量 [math]U = a_k^T X[/math] 和 [math]V = b_k^T Y[/math] 是'''''第一对典型变量'''''。然后寻找最大化相同相关性的向量，受到它们必须与第一对典型变量不相关的约束；这就得到了'''''第二对典型变量'''''。这个程序可以继续进行直到 [math]\min\{m,n\}[/math] 次。

	: [math ~~display="block"~~](a_k,b_k) = \underset{a,b}\operatorname{argmax} \operatorname{corr}(a^T X, b^T Y) \quad\text{ subject to } \operatorname{cov}(a^T X, a_j^T X) = \operatorname{cov}(b^T Y, b_j^T Y) = 0 \text{ for } j=1, \dots, k-1[/math]		: [math](a_k,b_k) = \underset{a,b}\operatorname{argmax} \operatorname{corr}(a^T X, b^T Y) \quad\text{ subject to } \operatorname{cov}(a^T X, a_j^T X) = \operatorname{cov}(b^T Y, b_j^T Y) = 0 \text{ for } j=1, \dots, k-1[/math]

	向量集 [math]a_k, b_k[/math] 被称为'''''典型方向'''''或'''''权重向量'''''或简单地称为'''''权重'''''。'对偶'向量集 [math]\Sigma_{XX}a_k, \Sigma_{YY} b_k[/math] 被称为'''''典型载荷向量'''''或简单地称为'''''载荷'''''；这些通常比权重更容易解释。<ref>{{Cite journal \|last1=Gu \|first1=Fei \|last2=Wu \|first2=Hao \|date=2018-04-01 \|title=具有不变典型载荷的同时典型相关分析 \|url=https://doi.org/10.1007/s41237-017-0042-8 \|journal=行为计量学 \|language=en \|volume=45 \|issue=1 \|pages=111–132 \|doi=10.1007/s41237-017-0042-8 \|issn=1349-6964}}</ref>		向量集 [math]a_k, b_k[/math] 被称为'''''典型方向'''''或'''''权重向量'''''或简单地称为'''''权重'''''。'对偶'向量集 [math]\Sigma_{XX}a_k, \Sigma_{YY} b_k[/math] 被称为'''''典型载荷向量'''''或简单地称为'''''载荷'''''；这些通常比权重更容易解释。<ref>{{Cite journal \|last1=Gu \|first1=Fei \|last2=Wu \|first2=Hao \|date=2018-04-01 \|title=具有不变典型载荷的同时典型相关分析 \|url=https://doi.org/10.1007/s41237-017-0042-8 \|journal=行为计量学 \|language=en \|volume=45 \|issue=1 \|pages=111–132 \|doi=10.1007/s41237-017-0042-8 \|issn=1349-6964}}</ref>
第57行：		第57行：
	设[math]\Sigma _{XY}[/math]为任意一对（向量形状的）随机变量[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[交协方差矩阵]]。要最大化的目标函数是		设[math]\Sigma _{XY}[/math]为任意一对（向量形状的）随机变量[math]X[/math]和[math]Y[/math]的[[交协方差矩阵]]。要最大化的目标函数是

	:[math]		[math]\rho = \frac{a^T \Sigma _{XY} b}{\sqrt{a^T \Sigma _{XX} a} \sqrt{b^T \Sigma _{YY} b}}。[/math]
	\rho = \frac{a^T \Sigma _{XY} b}{\sqrt{a^T \Sigma _{XX} a} \sqrt{b^T \Sigma _{YY} b}}。
	[/math]

	第一步是定义一个[[基变换]]并定义		第一步是定义一个[[基变换]]并定义

	:[math]		[math]c = \Sigma _{XX} ^{1/2} a，[/math]
	c = \Sigma _{XX} ^{1/2} a，
	[/math]		[math]d = \Sigma _{YY} ^{1/2} b，[/math]

	~~:[math]~~
	~~d = \Sigma _{YY} ^{1/2} b，~~
	~~[/math]~~
	其中[math]\Sigma_{XX}^{1/2}[/math]和[math]\Sigma_{YY}^{1/2}[/math]可以通过特征分解（或通过[[矩阵的平方根#通过对角化\|对角化]]）获得：		其中[math]\Sigma_{XX}^{1/2}[/math]和[math]\Sigma_{YY}^{1/2}[/math]可以通过特征分解（或通过[[矩阵的平方根#通过对角化\|对角化]]）获得：

	:[math]		[math]\Sigma _{XX} ^{1/2} = V_X D_X^{1/2} V_X^\top，\qquad V_X D_X V_X^\top = \Sigma_{XX}，[/math]
	\Sigma _{XX} ^{1/2} = V_X D_X^{1/2} V_X^\top，\qquad V_X D_X V_X^\top = \Sigma_{XX}，
	[/math]
	和		和
	:[math]		[math]\Sigma _{YY} ^{1/2} = V_Y D_Y^{1/2} V_Y^\top，\qquad V_Y D_Y V_Y^\top = \Sigma_{YY}。[/math]
	\Sigma _{YY} ^{1/2} = V_Y D_Y^{1/2} V_Y^\top，\qquad V_Y D_Y V_Y^\top = \Sigma_{YY}。
	[/math]

	因此		因此
	:[math]		[math]\rho = \frac{c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} d}{\sqrt{c^Tc} \sqrt{d^Td}}。[/math]
	\rho = \frac{c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} d}{\sqrt{c^Tc} \sqrt{d^Td}}。
	[/math]

	根据[[柯西-施瓦茨不等式]]，		根据[[柯西-施瓦茨不等式]]，
	:[math]		[math]\left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \right) (d) \leq \left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YX} \Sigma _{XX} ^{-1/2} c \right)^{1/2} \left(d^T d \right)^{1/2}，[/math]
	\left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \right) (d) \leq \left(c^T \Sigma _{XX} ^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YY} ^{-1/2} \Sigma _{YX} \Sigma _{XX} ^{-1/2} c \right)^{1/2} \left(d^T d \right)^{1/2}，
	[/math]

	:[math]		[math]\rho \leq \frac{\left(c^T \Sigma _{XX}^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY}^{-1} \Sigma _{YX} \Sigma_{XX}^{-1/2} c \right)^{1/2}}{\left(c^T c \right)^{1/2}}。[/math]
	\rho \leq \frac{\left(c^T \Sigma _{XX}^{-1/2} \Sigma _{XY} \Sigma _{YY}^{-1} \Sigma _{YX} \Sigma_{XX}^{-1/2} c \right)^{1/2}}{\left(c^T c \right)^{1/2}}。
	[/math]

	如果向量[math]d[/math]和[math]\Sigma_{YY}^{-1/2} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX}^{-1/2} c[/math]共线，则等式成立。此外，如果[math]c[/math]是矩阵[math]\Sigma_{XX}^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY}^{-1} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX}^{-1/2}[/math]的最大特征值对应的[[特征向量]]（见[[瑞利商]]），则可以达到相关性的最大值。通过使用逐渐减小的[[特征值]]找到后续对。相关矩阵的对称性保证了正交性。		如果向量[math]d[/math]和[math]\Sigma_{YY}^{-1/2} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX}^{-1/2} c[/math]共线，则等式成立。此外，如果[math]c[/math]是矩阵[math]\Sigma_{XX}^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY}^{-1} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX}^{-1/2}[/math]的最大特征值对应的[[特征向量]]（见[[瑞利商]]），则可以达到相关性的最大值。通过使用逐渐减小的[[特征值]]找到后续对。相关矩阵的对称性保证了正交性。

2024年2月25日 (日) 02:37 RainW

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2024年1月19日 (五) 11:06 Zeroclanzhang

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2024年1月18日 (四) 09:39 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 05:50 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 04:12 Zeroclanzhang

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2023年12月8日 (五) 02:49 Zeroclanzhang

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2023年12月4日 (一) 14:43 Zeroclanzhang

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2023年12月4日 (一) 14:04 Zeroclanzhang

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	{{Infobox nodebasic\|nodename=典型相关分析\|nodeimage=Canonical Correlation Analysis.png\|developer=Dev.Team-DPS\|productionstate=PC可用\|productionstatedesc=在[[~~DecisionTree~~ \| V1.0]]部署\|nodeenglishname=[[Has english name::Canonical Correlation Analysis]]\|abbreviation=CCA\|funcmaincategory=数据分析\|funcsubcategory=[[DataAGM Lv1 Cat::相关分析]]\|nodecategory=数据挖掘\|nodeinterpretor=R\|nodeshortdescription=<p>典型相关分析是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。假设有两组变量，采用类似主成分分析的做法，在每一组变量中选择若干个有代表性的综合指标-变量的线性组合，通过研究两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系。原理是首先在变量中找出变量的线性组合，使其具有最大相关性，然后再每组变量中找出第二对线性组合，使其分别与第一对线性组合不相关，而第二对线性组合本身具有最大的相关性，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕。~~\n用途：研究两组变量之间的关系，~~ 典型相关分析可以一次性分析多个变量的关系，也可以帮助研究者了解哪些变量在两组数据中有最强的关系。~~\n参数：可以输入多个数值因变量和多个数值自变量。~~</p>\|nodeinputnumber=4\|nodeoutputnumber=2\|nodeloopsupport=是\|nodeifswitchsupport=否\|nodeavailableplotlist=PointPlot\|nodeavailabletablelist=Table_For_Downstream\|nodeconfiguration=VariableList\|nodeinputports=WorkFlow-Control ▶;Transfer-Table ■\|nodeoutputports=WorkFlow-Control ▶;Transfer-Table ■\|statsapewikiurl=https://wiki.statsape.com/~~典型相关分析_Plus~~\|previousnode=[[一般线性相关分析]]\|nextnode=[[~~线性回归~~]]}}{{Navplate AlgorithmNodeList}}[[Category:相关分析]]		{{Infobox nodebasic
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			\|nodeshortdescription=<p>典型相关分析是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。假设有两组变量，采用类似主成分分析的做法，在每一组变量中选择若干个有代表性的综合指标-变量的线性组合，通过研究两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系。原理是首先在变量中找出变量的线性组合，使其具有最大相关性，然后再每组变量中找出第二对线性组合，使其分别与第一对线性组合不相关，而第二对线性组合本身具有最大的相关性，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕。</p><p>用途：研究两组变量之间的关系，典型相关分析可以一次性分析多个变量的关系，也可以帮助研究者了解哪些变量在两组数据中有最强的关系。</p><p>参数：可以输入多个数值因变量和多个数值自变量。</p>
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			[[Category:相关分析]]