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[[File:DilationErosion.png|thumb|right|一种形状（蓝色）及其通过菱形结构元素进行的形态学膨胀（绿色）和侵蚀（黄色）。]]
'''数学形态学'''（'''MM'''）是一种基于[[集合论]]、[[格理论]]、[[拓扑学]]和[[随机函数]]的[[几何|几何结构]]分析和处理的理论与技术。MM最常应用于[[数字图像]]，但也可以用于[[图论 (离散数学)|图]]、[[多边形网格|表面网格]]、[[立体几何|固体]]以及其他许多空间结构。

[[拓扑学|拓扑]]和[[几何学|几何]] [[连续体 (理论)|连续空间]]概念，如大小、[[形状]]、[[凸集|凸性]]、[[连通性|连通性]]和[[测地距离]]，是由MM在连续和[[离散空间]]中引入的。MM也是形态学[[图像处理]]的基础，包含一系列根据上述特征转换图像的运算符。

基本的形态学运算符包括[[侵蚀 (形态学)|侵蚀]]、[[膨胀 (形态学)|膨胀]]、[[开运算 (形态学)|开运算]]和[[闭运算 (形态学)|闭运算]]。

MM最初是为[[二值图像]]开发的，后来扩展到[[灰度]] [[函数 (数学)|函数]]和图像。随后对[[完备格]]的概括今天被广泛接受为MM的理论基础。

== 历史 ==
1964年，[[Georges Matheron]]和[[Jean Serra]]在[[法国]]''[[巴黎矿业学校]]''的合作研究中开发了数学形态学。Matheron指导了Serra的[[博士论文]]，专注于从薄[[横截面 (几何学)|横截面]]中量化矿物特性，这项工作导致了实践方法的创新以及[[积分几何]]和[[拓扑学]]的理论进步。

1968年，''[[数学形态学中心]]''由巴黎矿业学校在[[Fontainebleau]]，法国成立，由Matheron和Serra领导。

在1960年代剩余时间和大部分1970年代，MM主要处理[[二值图像]]，将其视为[[集合 (数学)|集合]]，并产生了大量[[二元运算符]]和技术：[[击中或错过变换]]、[[膨胀 (形态学)|膨胀]]、[[侵蚀 (形态学)|侵蚀]]、[[开运算 (形态学)|开运算]]、[[闭运算 (形态学)|闭运算]]、[[粒度测量 (形态学)|粒度测量]]、[[击中或错过变换#变薄|变薄]]、[[拓扑骨架]]、[[终极侵蚀]]、[[条件平分线]]等。还开发了基于新型图像模型的随机方法。在那个时期，大部分工作都是在Fontainebleau进行的。

从1970年代中期到1980年代中期，MM也被推广到[[灰度]]函数和[[图像]]。除了将主要概念（如膨胀、侵蚀等）扩展到函数外，这种推广还产生了新的运算符，如[[形态梯度]]、[[顶帽变换]]和[[分水岭 (算法)|分水岭]]（MM的主要[[图像分割|分割]]方法）。

在1980年代和1990年代，MM获得了更广泛的认可，因为几个国家的研究中心开始采用和研究这种方法。MM开始应用于大量成像问题和应用，特别是在非线性滤波噪声图像领域。

1986年，Serra进一步将MM推广到基于[[完备格]]的理论框架。这种推广为理论带来了灵活性，使其能够应用于更多的结构，包括彩色图像、视频、[[图论 (离散数学)|图]]、[[网格 (数学)|网格]]等。与此同时，Matheron和Serra还基于新的格框架，为形态学[[过滤器 (数学)|过滤]]制定了理论。

1990年代和2000年代还看到了进一步的理论进展，包括''[[连接 (形态学)|连接]]''和''[[水平调整 (形态学)|水平调整]]''的概念。

1993年，第一届国际数学形态学研讨会（ISMM）在[[西班牙]] [[巴塞罗那]]举行。此后，ISMM每2-3年组织一次：[[Fontainebleau]]，[[法国]]（1994年）；[[亚特兰大]]，[[美国|美国]]（1996年）；[[阿姆斯特丹]]，[[荷兰]]（1998年）；[[帕洛阿尔托]]，[[加利福尼亚|加州]]，[[美国|美国]]（2000年）；[[悉尼]]，[[澳大利亚]]（2002年）；[[巴黎]]，[[法国]]（2005年）；[[里约热内卢]]，[[巴西]]（2007年）；[[荷兰]] [[格罗宁根 (市)|格罗宁根]]（2009年）；Intra ([[韦尔巴尼亚]])，[[意大利]]（2011年）；[[乌普萨拉]]，瑞典（2013年）；[[雷克雅未克]]，冰岛（2015年）；以及[[Fontainebleau]]，[[法国]]（2017年）。

=== 参考文献 ===

* Pierre Soille在([[#serra94|Serra ''et al.'' (编者) 1994]])的“导言”，第1-4页。
* Jean Serra在([[#serra94|Serra ''et al.'' (编者) 1994]])的“附录A: 数学形态学中心概述”，第369-374页。
* 在([[#ronse05|Ronse ''et al.'' (编者) 2005]])的“前言”

== 二元形态学 ==

在二元形态学中，图像被视为[[欧几里得空间]] [math]\mathbb{R}^d[/math] 或整数网格 [math]\mathbb{Z}^d[/math]的[[子集]]，其中''d''是某个维度。

=== 结构元素 ===

二元形态学的基本思想是用一个简单的、预定义的形状探测图像，从中得出这个形状如何适应或不适应图像中的形状的结论。这个简单的“探针”被称为[[结构元素]]，它本身是一个二值图像（即空间或网格的子集）。

以下是一些广泛使用的结构元素（由''B''表示）的示例：

* 设定 [math]E = \mathbb{R}^2[/math]；''B'' 是一个以原点为中心，半径为''r''的开放圆盘。
* 设定 [math]E = \mathbb{Z}^2[/math]；''B'' 是一个3 × 3的正方形，即''B'' = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}。
* 设定 [math]E = \mathbb{Z}^2[/math]；''B'' 是由''B'' = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}给出的“十字”。

=== 基本操作 ===
基本操作是与[[Minkowski addition|明可夫斯基加法]]密切相关的位移不变（[[Translational invariance|平移不变]]）操作。

设''E''是欧几里得空间或整数网格，''A''是''E''中的二值图像。

==== 腐蚀 ====

[[File:Erosion.png|thumb|right|一个圆盘对深蓝色正方形的腐蚀，结果为浅蓝色正方形。]]
二值图像''A''被结构元素''B''腐蚀的定义为

: [math]A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\},[/math]

其中''B''<sub>''z''</sub>是''B''通过向量''z''的平移，即 [math]B_z = \{b + z \mid b \in B\}[/math]， [math]\forall z \in E[/math]。

当结构元素''B''有一个中心（例如，''B''是一个圆盘或正方形），且该中心位于''E''的原点时，则可以理解为''A''被''B''腐蚀为''B''中心在''B''移动到''A''内时所达到的点的[[Locus (mathematics)|轨迹]]。例如，一个边长为10，中心位于原点的正方形，被同样中心位于原点的半径为2的圆盘腐蚀，其结果是一个边长为6，中心位于原点的正方形。

''A''被''B''腐蚀也可以表示为 [math]A \ominus B = \bigcap_{b \in B} A_{-b}[/math]。

应用示例：假设我们收到了一份暗色复印的传真。一切看起来像是用渗墨的笔写的。腐蚀过程将使较粗的线变细，并检测出字母“o”内部的空洞。

==== 扩张 ====

[[File:Dilation.png|thumb|right|一个圆盘对深蓝色正方形的扩张，结果为圆角的浅蓝色正方形。]]

''A''被结构元素''B''扩张的定义为

: [math]A \oplus B = \bigcup_{b \in B} A_b.[/math]

扩张是可交换的，也可表示为 [math]A \oplus B = B \oplus A = \bigcup_{a \in A} B_a[/math]。

如果''B''的中心位于原点，如前所述，则可以理解为''A''被''B''扩张为当''B''的中心在''A''内移动时，''B''覆盖的点的轨迹。在上述例子中，边长为10的正方形被半径为2的圆盘扩张，其结果是一个边长为14，圆角半径为2，中心位于原点的正方形。

扩张也可以通过 [math]A \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A \neq \varnothing\}[/math] 获得，其中''B''<sup>''s''</sup>表示''B''的[[rotational symmetry|对称体]]，即 [math]B^s = \{x \in E \mid -x \in B\}[/math]。

应用示例：扩张是腐蚀的对偶操作。轻微绘制的图形在“扩张”时变粗。最简单的描述方式是想象同一传真/文本是用更粗的笔写的。

==== 开运算 ====

[[File:Opening.png|thumb|right|一个圆盘对深蓝色正方形的开运算，结果为圆角的浅蓝色正方形。]]

''A''被''B''的[[Opening (morphology)|开运算]]是通过先对''A''进行''B''的腐蚀，然后对结果图像进行''B''的扩张得到的：

: [math]A \circ B  = (A \ominus B) \oplus B.[/math]

开运算也可以表示为 [math]A \circ B = \bigcup_{B_x \subseteq A} B_x[/math]，意味着它是结构元素''B''在图像''A''内部的平移轨迹。在边长为10的正方形和半径为2的圆盘作为结构元素的情况下，开运算是一个边长为10，角半径为2的圆角正方形。

应用示例：假设有人在不吸墨的纸上写了一张便条，写作看起来好像到处长着细小的毛根。开运算本质上去除了外部的细小“毛线”泄漏，并恢复了文本。副作用是它使事物变圆。尖锐的边缘开始消失。

==== 闭运算 ====

[[File:Closing.png|thumb|right|一个圆盘对深蓝色形状（两个正方形的并集）的闭运算，结果为深蓝色形状和浅蓝色区域的并集。]]

''A''被''B''的[[Closing (morphology)|闭运算]]是通过先对''A''进行''B''的扩张，然后对结果结构进行''B''的腐蚀得到的：

: [math]A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B.[/math]

闭运算也可以通过 [math]A \bullet B = (A^c \circ B^s)^c[/math] 获得，其中''X''<sup>''c''</sup>表示''X''相对于''E''的[[complement (set theory)|补集]]（即 [math]X^c = \{x \in E \mid x \notin X\}[/math]）。上述意味着闭运算是结构元素的对称体外部图像''A''的平移轨迹的补集。

==== 基本运算符的属性 ====

以下是基本二元形态学运算符（膨胀、腐蚀、开运算和闭运算）的一些属性：

* 它们具有[[Translational invariance|平移不变性]]。
* 它们是[[increasing|递增的]]，即，如果[math]A\subseteq C[/math]，那么[math]A\oplus B \subseteq C\oplus B[/math]，以及[math]A\ominus B \subseteq C\ominus B[/math]等。
* 膨胀运算是[[commutative|可交换的]]：[math]A\oplus B = B\oplus A[/math]。
* 如果集合''E''的原点属于结构元素''B''，则[math]A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B[/math]。
* 膨胀运算是[[associative|结合的]]，即，[math](A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)[/math]。此外，腐蚀运算满足[math](A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)[/math]。
* 腐蚀和膨胀运算满足对偶性[math]A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}[/math]。
* 开运算和闭运算满足对偶性[math]A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}[/math]。
* 膨胀运算是对[[set union|集合并]]的[[Distributive property|分配]]。
* 腐蚀运算是对[[set intersection|集合交]]的[[Distributive property|分配]]。
* 膨胀运算是腐蚀运算的[[pseudo-inverse|伪逆]]，反之亦然，具体来说：[math]A\subseteq (C\ominus B)[/math]当且仅当[math](A\oplus B)\subseteq C[/math]。
* 开运算和闭运算是[[idempotent|幂等的]]。
* 开运算是[[anti-extensive|反扩张的]]，即，[math]A\circ B\subseteq A[/math]，而闭运算是''扩张的''，即，[math]A\subseteq A\bullet B[/math]。

=== 其他运算符和工具 ===

* [[Hit-or-miss transform|击中或错过变换]]
* [[Pruning (morphology)|修剪变换]]
* [[Morphological skeleton|形态学骨架]]
* [[Filtering by reconstruction|重建过滤]]
* [[Ultimate erosions|极限腐蚀]]和[[conditional bisector|条件平分线]]
* [[Granulometry (morphology)|颗粒度分析]]
* [[Geodesic distance function|测地距离函数]]

==灰度形态学==

[[File:Watershed of gradient of MRI heart image.png|thumb|right|心脏图像梯度的分水岭]]

在[[grayscale|灰度]]形态学中，图像是将[[Euclidean space|欧几里得空间]]或网格''E''映射到[math]\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}[/math]的[[Function (mathematics)|函数]]，其中[math]\mathbb{R}[/math]是[[real numbers|实数]]集合，[math]\infty[/math]是比任何实数都大的元素，而[math]-\infty[/math]是比任何实数都小的元素。

灰度结构元素也是同样格式的函数，称为"结构函数"。

用''f''(''x'')表示图像，''b''(''x'')表示结构函数，''B''表示''g''的支持集，''f''通过''b''的灰度膨胀定义为

: [math](f \oplus b)(x) = \sup_{y \in B}[f(y) + b(x - y)],[/math]

其中"sup"表示[[supremum|上确界]]。

同样地，''f''通过''b''的腐蚀定义为

: [math](f \ominus b)(x) = \inf_{y \in B}[f(y) - b(y - x)],[/math]

其中"inf"表示[[infimum|下确界]]。

就像在二值形态学中一样，开运算和闭运算分别由

: [math]f \circ b = (f \ominus b) \oplus b,[/math]

: [math]f \bullet b = (f \oplus b) \ominus b.[/math]给出。

===平面结构函数===

在形态学应用中常用平面结构元素。平面结构函数是形式为''b''(''x'')的函数

: [math]b(x) = \begin{cases} 0, & x \in B, \\ -\infty & \text{otherwise}, \end{cases}[/math]

其中[math]B \subseteq E[/math]。

在这种情况下，膨胀和腐蚀被大大简化，分别由

: [math](f \oplus b)(x) = \sup_{z \in B^s} f(x + z),[/math]<!--See demonstration at [[Dilation_(morphology)#Flat_structuring_functions]]-->

: [math](f \ominus b)(x) = \inf_{z \in B} f(x + z).[/math]给出。

在有界、离散的情况下（''E''是网格且''B''是有界的），[[supremum|上确界]]和[[infimum|下确界]]运算符可以被[[maximum|最大值]]和[[minimum|最小值]]替换。因此，膨胀和腐蚀是[[order statistics|顺序统计]]过滤器的特殊情况，膨胀返回移动窗口（结构函数支持''B''的对称部分）内的最大值，而腐蚀返回移动窗口''B''内的最小值。

在平面结构元素的情况下，形态学运算符仅依赖于[[pixel|像素]]值的相对顺序，而不论其数值，因此特别适合处理[[binary images|二值图像]]和[[grayscale images|灰度图像]]，其[[light transfer function|光传输函数]]未知。

=== 其他运算符和工具 ===

* [[Morphological gradient|形态梯度]]
* [[Top-hat transform|顶帽变换]]
* [[Watershed (algorithm)|分水岭算法]]

通过组合这些运算符，可以获得许多图像处理任务的算法，如[[feature extraction|特征检测]]、[[image segmentation|图像分割]]、[[Unsharp masking|图像锐化]]、[[Filter (signal processing)|图像过滤]]和[[Statistical classification|分类]]。
沿着这条线路，还应该研究[[Continuous Morphology]]<ref>G. Sapiro, R. Kimmel, D. Shaked, B. Kimia, and A. M. Bruckstein.  [https://www.cs.technion.ac.il/~ron/PAPERS/morphology_1993.pdf ''通过曲线演化实现连续尺度形态学'']. Pattern Recognition, 26(9):1363–1372, 1993.</ref>

==完备格上的数学形态学==

[[Complete lattice|完备格]]是[[partially ordered set|部分有序集]]，其中每个子集都有一个[[infimum|下确界]]和一个[[supremum|上确界]]。特别地，它包含一个[[least element|最小元素]]和一个[[greatest element|最大元素]]（也称为"宇宙"）。

===伴随（膨胀和侵蚀）===

设 [math](L,\leq)[/math] 为一个完备格，其下确界和上确界分别用符号 [math]\wedge[/math] 和 [math]\vee[/math] 表示。其全集和最小元素分别用 ''U'' 和 [math]\emptyset[/math] 表示。此外，设 [math]\{ X_{i} \}[/math] 为 ''L'' 中元素的集合。

膨胀是任意运算符 [math]\delta\colon L\rightarrow L[/math]，其分配到上确界，并保持最小元素不变。即：
* [math]\bigvee_{i}\delta(X_i)=\delta\left(\bigvee_{i} X_i\right)[/math]，
* [math]\delta(\emptyset)=\emptyset[/math]。

侵蚀是任意运算符 [math]\varepsilon\colon L\rightarrow L[/math]，其分配到下确界，并保持全集不变。即：
* [math]\bigwedge_{i}\varepsilon(X_i)=\varepsilon\left(\bigwedge_{i} X_i\right)[/math]，
* [math]\varepsilon(U)=U[/math]。

膨胀和侵蚀形成[[伽罗瓦连接]]。也就是说，对于每个膨胀 [math]\delta[/math]，存在唯一的侵蚀 [math]\varepsilon[/math] 满足

: [math]X\leq \varepsilon(Y)\Leftrightarrow \delta(X)\leq Y[/math]

对所有的 [math]X,Y\in L[/math] 都成立。

同样地，对于每个侵蚀，也存在唯一的膨胀满足上述联系。

此外，如果两个运算符满足这种联系，则 [math]\delta[/math] 必须是膨胀，而 [math]\varepsilon[/math] 必须是侵蚀。

满足上述联系的侵蚀和膨胀对被称为“伴随”，并且侵蚀被认为是膨胀的伴随侵蚀，反之亦然。

===开操作和闭操作===

对于每个伴随 [math](\varepsilon,\delta)[/math]，形态学开操作 [math]\gamma \colon L \to L[/math] 和形态学闭操作 [math]\phi \colon L \to L[/math] 定义如下：

: [math]\gamma = \delta\varepsilon,[/math]

: [math]\phi = \varepsilon\delta.[/math]

形态学开操作和闭操作是[[代数开操作]]（简称开操作）和[[代数闭操作]]（简称闭操作）的特例。代数开操作是 ''L'' 中的运算符，它们是幂等的、单调递增的，并且是反广义的。代数闭操作是 ''L'' 中的运算符，它们是幂等的、单调递增的，并且是广义的。

===特定情形===

二值形态学是格形态学的一个特例，其中 ''L'' 是 ''E''（欧几里得空间或网格）的[[幂集]]，即 ''L'' 是 ''E'' 的所有子集的集合，而 [math]\leq[/math] 是[[集合包含]]。在这种情况下，下确界是[[集合交集]]，上确界是[[集合并集]]。

类似地，灰度形态学是另一个特例，其中 ''L'' 是将 ''E'' 映射到 [math]\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}[/math] 的函数集，而 [math]\leq[/math]、[math]\vee[/math] 和 [math]\wedge[/math] 分别是逐点顺序、上确界和下确界。也就是说，如果 ''f'' 和 ''g'' 是 ''L'' 中的函数，则 [math]f\leq g[/math] 当且仅当 [math]f(x)\leq g(x),\forall x\in E[/math]；下确界 [math]f\wedge g[/math] 由 [math](f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)[/math] 给出；上确界 [math]f\vee g[/math] 由 [math](f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)[/math] 给出。

== 另行参见 ==
* [[H-maxima transform]]

== 引用 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* ''图像分析与数学形态学'' 作者：让·塞拉（Jean Serra），{{ISBN|0-12-637240-3}} （1982年）
* ''图像分析与数学形态学 第2卷：理论进展'' 作者：让·塞拉（Jean Serra），{{ISBN|0-12-637241-1}} （1988年）
* ''形态学图像处理导论'' 作者：爱德华·R·多尔蒂（Edward R. Dougherty），{{ISBN|0-8194-0845-X}} （1992年）
* ''形态学图像分析；原理与应用'' 作者：皮埃尔·索伊尔（Pierre Soille），{{ISBN|3-540-65671-5}} （1999年），第2版（2003年）
* ''数学形态学及其在信号处理中的应用''，作者：J. Serra 和 Ph. Salembier（编者），第1届国际数学形态学及其在信号处理中的应用研讨会（ISMM'93）论文集，{{ISBN|84-7653-271-7}} （1993年）
* <cite id=serra94>''数学形态学及其在图像处理中的应用''，作者：J. Serra 和 P. Soille（编者），第2届国际数学形态学研讨会（ISMM'94）论文集，{{ISBN|0-7923-3093-5}} （1994年）</cite>
* ''数学形态学及其在图像与信号处理中的应用''，作者：亨克·J.A.M. 海曼斯和乔斯·B.T.M. 罗尔丁克（Henk J.A.M. Heijmans and Jos B.T.M. Roerdink）（编者），第4届国际数学形态学研讨会（ISMM'98）论文集，{{ISBN|0-7923-5133-9}} （1998年）
* <cite id=ronse05>''数学形态学：40年''，作者：克里斯蒂安·隆斯、劳伦特·纳杰曼和埃蒂安·德肯西埃（Christian Ronse, Laurent Najman, and Etienne Decencière）（编者），{{ISBN|1-4020-3442-3}} （2005年）</cite>
* ''数学形态学及其在信号与图像处理中的应用''，作者：杰拉尔德·J.F. 巴农、小巴雷拉和乌利塞斯·M. 布拉加-内托（Gerald J.F. Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto）（编者），第8届国际数学形态学研讨会（ISMM'07）论文集，{{ISBN|978-85-17-00032-4}} （2007年）
* ''数学形态学：从理论到应用''，作者：劳伦特·纳杰曼和休斯·塔尔博特（Laurent Najman and Hugues Talbot）（编者）。ISTE-Wiley。{{ISBN|978-1-84821-215-2}}。（520页） 2010年6月

== 外部链接 ==
* [数学形态学在线课程]，讲师：让·塞拉（Jean Serra）（提供英语、法语和西班牙语）
* [https://www.cmm.minesparis.psl.eu 数学形态学中心]，巴黎矿业学校
* [数学形态学历史]，作者：乔治·马特龙和让·塞拉（Georges Matheron and Jean Serra）
* [https://web.archive.org/web/20100601080516/http://mdigest.jrc.ec.europa.eu/ 数学形态学文摘]，作者：皮埃尔·索伊尔（Pierre Soille）
* [https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing 图像处理讲座：范德堡大学的18讲PDF格式讲座集。讲座16-18关于数学形态学]，作者：艾伦·彼得斯（Alan Peters）
* [数学形态学；来自计算机视觉讲座]，讲师：[[Robyn Owens]]
* [https://smil.cmm.minesparis.psl.eu SMIL - 简单（但高效）的形态学图像库（来自巴黎矿业学校）]
* [http://fulguro.sourceforge.net 免费的SIMD优化图像处理库]
* [Java小程序演示]
* [http://filters.sourceforge.net/ FILTERS：免费开源图像处理库]
* [快速形态学腐蚀、膨胀、开启和闭合]
* [http://www.johanneshjorth.se/SynD 使用Matlab的神经元形态学分析]

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